![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Равномернаяметрика, или метрика Колмогорова, - одна из наиболее старых и наиболее часто используемых вероятностных метрик. Термин «метрика Колмогорова» в отечественной литературе используется редко, хотя А. Н. Колмогоров был первым, кто успешно использовал в статистике уникальные свойства Р. м., определяемой для действительных случайных величин равенством
где - функция распределения случайной величины X. Эти свойства таковы:
1)p(G(X), G(Y)) = p(X, Y) для любой непрерывной и строго монотонной функции G{x) на ;
2)множество всех дискретных распределений на является плотным (в смысле равномерной сходимости) в множестве всех распределений на
.
Берри - Эссеена неравенство содержит верхнюю оценку Р. м. в терминах характеристических функций.
Существуют разнообразные аналоги Р.м. для распределений многомерных случайных величин X. Обычно они имеют структуру
,
где U - какая-либо система борелевских множеств. Наиболее используемыми здесь до настоящего времени были та или иная система шаров, система всех выпуклых множеств и система всех борелевских множеств. В последнем случае получается полной вариации метрика.
Суть этого метода заключается в следующем. Предположим, что любым двум функциям распределения и
поставлено в соответствие число
,называемое расстоянием, причем
. Пусть теперь, как обычно, задана выборка
из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения F(x), принадлежащей параметрическому семейству
. Вычислим расстояние между эмпирической функцией распределения F*(x) и функциями распределения
из данного семейства. Оценкой, полученной методом минимального расстояния, называется такое значение
, для которого
,
т.е. такое значение , которое определяет ближайшую к F*(x) в смысле расстояния
функцию распределения из семейства
.
Приведем примеры некоторых наиболее часто встречающихся в математической статистике расстояний.
Равномерное расстояние (расстояние Колмогорова) определяется формулой
расстояние имеет вид
Расстояние употребляется для функций распределения
и
дискретных случайных величин
и
, принимающих одинаковые значения
, и задается выражением
где вероятности и
определяются рядами распределения случайных величин
и
.
Использование приведенных выше расстояний для получения оценок весьма сложно в вычислительном плане, и поэтому они употребляются крайне редко. Здесь мы упомянули об этих расстояниях только потому, что применение оценок, полученных с их помощью, позволяет упростить вычисление уровней значимости критериев при проверке сложных непараметрических статистических гипотез, поскольку такие оценки естественным образом связаны с соответствующими критериями.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2075 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!