Распределения Вейбулла - Гнеденко

Экспоненциальные распределения - частный случай так называемых распределений Вейбулла - Гнеденко. Они названы по фамилиям инженера В. Вейбулла, введшего эти распределения в практику анализа результатов усталостных испытаний, и математика Б.В.Гнеденко (1912-1995), получившего такие распределения в качестве предельных при изучении максимального из результатов испытаний. Пусть - случайная величина, характеризующая длительность функционирования изделия, сложной системы, элемента (т.е. ресурс, наработку до предельного состояния и т.п.), длительность функционирования предприятия или жизни живого существа и т.д. Важную роль играет интенсивность отказа

(2.2.1)

где и - функция распределения и плотность случайной величины .

Опишем типичное поведение интенсивности отказа. Весь интервал времени можно разбить на три периода. На первом из них функция имеет высокие значения и явную тенденцию к убыванию (чаще всего она монотонно убывает). Это можно объяснить наличием в рассматриваемой партии единиц продукции с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих единиц продукции. Первый период называют "периодом приработки" (или "обкатки"). Именно на него обычно распространяется гарантийный срок.

Затем наступает период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной и сравнительно низкой интенсивностью отказов. Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и т.п.) и не зависит от длительности эксплуатации единицы продукции.

Наконец, последний период эксплуатации - период старения и износа. Природа отказов в этот период - в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества единицы продукции и окончательному выходу ее из строя.

Каждому периоду соответствует свой вид функции . Рассмотрим класс степенных зависимостей

, (2.2.2)

где и - некоторые числовые параметры. Значения , и отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно.

Соотношение (2.2.1) при заданной интенсивности отказа - дифференциальное уравнение относительно функции . Из теории дифференциальных уравнений следует, что (2.2.3)

Подставив (2.2.2) в (2.2.3), получим, что

(2.2.4)

Распределение, задаваемое формулой (2.2.4) называется распределением Вейбулла - Гнеденко. Поскольку , где , (2.2.5)

то из формулы (2.2.4) следует, что величина , задаваемая формулой (2.2.5), является масштабным параметром. Иногда вводят и параметр сдвига, т.е. функциями распределения Вейбулла - Гнеденко называют , где задается формулой (2.2.4) при некоторых и .

Плотность распределения Вейбулла - Гнеденко имеет вид:

(2.2.6)

где - параметр масштаба, - параметр формы, - параметр сдвига. При этом параметр из формулы (2.2.6) связан с параметром из формулы (2.2.4) соотношением, указанным в формуле (2.2.5).

Основные характеристики распределения Вейбулла(двухпараметрического)

Обозначение
Область значений
Параметры	Параметр масштаба b > 0 и формы c > 0.
Плотность
Математическое ожидание
Дисперсия
Функция распределения
Медиана
Мода	для
Коэффициент асимметрии

Связь с другими распределениями:

1. Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла: .

2. Метод обратного преобразования: если , то .

3. Распределение Вейбулла называют еще распределением Релея.

Распределение Вейбулла - Гнеденко применяется также при построении вероятностных моделей ситуаций, в которых поведение объекта определяется "наиболее слабым звеном". Подразумевается аналогия с цепью, сохранность которой определяется тем ее звеном, которое имеет наименьшую прочность. Другими словами, пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины, .

В ряде прикладных задач большую роль играют и , в частности, при исследовании максимально возможных значений ("рекордов") тех или иных значений, например, страховых выплат или потерь из-за коммерческих рисков, при изучении пределов упругости и выносливости стали, ряда характеристик надежности и т.п. Показано, что при больших распределения и , как правило, хорошо описываются распределениями Вейбулла - Гнеденко. Основополагающий вклад в изучение распределений и внес советский математик Б.В.Гнеденко. Использованию полученных результатов в экономике, менеджменте, технике и других областях посвящены труды В. Вейбулла, Э. Гумбеля, В.Б. Невзорова, Э.М. Кудлаева и многих иных специалистов.