Распределения Пирсона (хи – квадрат), Стьюдента и Фишера

В приложениях статистики очень часто используют связанные с нормальным распределения: распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента (часто применяют обозначение t-распределение) и F-распределение. Плотности этих распределений выражаются через стандартные математические функции в виде некоторых (довольно громоздких) формул, которые и служат определением распределений. Мы же дадим «конструктивное» определение, раскрывающее возможности использования этих распределений в математической статистике. Рассматриваемые распределения в настоящее время часто используются при статистической обработке данных.

Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины , где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение . При этом число слагаемых, т.е. , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных. График функции плотности распределения изображен на рис. 2.1.1 в двух вариантах: и .

Рис. 2.1.1. Функция плотности -распределения: (1) n=5, (2) n=10.

Основные характеристики - распределения

Обозначение
Область значений
Параметры	– параметр формы, целое положительное число; его часто называют числом степеней свободы.
Плотность (функция вероятности)	, где – гамма-функция
Математическое ожидание
Дисперсия
Функция распределения	Не выражается в элементарных функциях
Медиана	~
Мода	, если
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса

Свойства распределения.

1. Распределение устойчиво относительно суммирования. Если - независимы, и , то .

2. В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно при .

Связь с другими распределениями

1. совпадает с гамма – распределением: . Это соотношение позволяет вычислять функцию распределения хи-квадрат.

2. Если и – независимые случайные величины, то случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы ().

3. Если случайная величина имеет F-распределение с и степенями свободы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с степенями свободы.

4. Если случайная величина подчиняется - распределению Стьюдента с степенями свободы, а – стандартному нормальному распределению, причем и независимы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с степенями свободы.

5. Если независимые нормальные случайные величины, т.е. , , то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.