Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Распределения Пирсона (хи – квадрат), Стьюдента и Фишера



В приложениях статистики очень часто используют связанные с нормальным распределения: распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента (часто применяют обозначение t-распределение) и F-распределение. Плотности этих распределений выражаются через стандартные математические функции в виде некоторых (довольно громоздких) формул, которые и служат определением распределений. Мы же дадим «конструктивное» определение, раскрывающее возможности использования этих распределений в математической статистике. Рассматриваемые распределения в настоящее время часто используются при статистической обработке данных.

Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины , где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение . При этом число слагаемых, т.е. , называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных. График функции плотности распределения изображен на рис. 2.1.1 в двух вариантах: и .

Рис. 2.1.1. Функция плотности -распределения: (1) n=5 , (2) n=10.

Основные характеристики - распределения

Обозначение
Область значений
Параметры – параметр формы, целое положительное число; его часто называют числом степеней свободы.
Плотность (функция вероятности) , где – гамма-функция
Математическое ожидание
Дисперсия
Функция распределения Не выражается в элементарных функциях
Медиана ~
Мода , если
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса


Свойства распределения.

1. Распределение устойчиво относительно суммирования. Если - независимы, и , то .

2. В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины может быть приближено нормальным . Более точно при .

Связь с другими распределениями

1. совпадает с гамма – распределением: . Это соотношение позволяет вычислять функцию распределения хи-квадрат.

2. Если и – независимые случайные величины, то случайная величина имеет распределение Фишера со степенями свободы ( ).

3. Если случайная величина имеет F-распределение с и степенями свободы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с степенями свободы.

4. Если случайная величина подчиняется - распределению Стьюдента с степенями свободы, а – стандартному нормальному распределению, причем и независимы, то случайная величина распределена как хи-квадрат с степенями свободы.

5. Если независимые нормальные случайные величины, т.е. , , то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 3060 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2021 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.002 с)...