Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть фирма выпустила новый процессор. Предположим, что каждые два года цена на этот процессор падает на 10%. Тогда количество таких процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму может быть описано с помощью распределения хи-квадрат.
Доказательство:
Обозначим фиксированную сумму через Z. Пусть S - стартовая цена процессора. Тогда по прошествии лет он будет стоить . Преобразуем полученное выражение: . Введем новую переменную: . Получим следующую формулу: . Количество процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму, равно . Если закрыть глаза на коэффициенты, то полученная формула соответствует формуле плотности для распределения хи-квадрат при .
Распределение Стьюдента – это распределение случайной величины ,
где случайные величины и независимы, имеет стандартное нормальное распределение , а – распределение хи – квадрат с степенями свободы. При этом называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.
Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В.Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В.Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В.Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов.
В настоящее время распределение Стьюдента – одно из наиболее известных распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости, гипотез однородности выборок и т.д.
В теории вероятностей дается следующее конструктивное определение распределения Стьюдента.
Предположим, что каждая из независимых случайных величин , распределена нормально с параметрами и (). Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы (записывается ).
График функции плотности -распределения см. на рис. 2.1.2 в двух вариантах: и . Заметим, что максимальное значение плотности распределения достигается при , и график симметричен относительно оси ординат.
Рис. 2.1.2. Функция плотности -распределения в двух вариантах: (1) , (2) .
Основные характеристики распределения Стьюдента
Обозначение | |
Область значений | |
Параметры | Параметр формы , число степеней свободы, целое положительное число |
Плотность (функция вероятности) | |
Математическое ожидание | |
Дисперсия | , если |
Функция распределения | Не выражается в элементарных функциях |
Медиана | |
Мода | |
Коэффициент асимметрии | , если |
Коэффициент эксцесса | , где |
Свойства распределения.
1. Распределение Стьюдента симметрично. В частности, если , то .
2. Случайная величина имеет только моменты порядков , причем , если - нечетно; , если - четно. Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями:
1. Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где , . Тогда по распределению при .
2. Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть , тогда .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2280 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!