Пример распределения хи-квадрат

Пусть фирма выпустила новый процессор. Предположим, что каждые два года цена на этот процессор падает на 10%. Тогда количество таких процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму может быть описано с помощью распределения хи-квадрат.

Доказательство:

Обозначим фиксированную сумму через Z. Пусть S - стартовая цена процессора. Тогда по прошествии лет он будет стоить . Преобразуем полученное выражение: . Введем новую переменную: . Получим следующую формулу: . Количество процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму, равно . Если закрыть глаза на коэффициенты, то полученная формула соответствует формуле плотности для распределения хи-квадрат при .

Распределение Стьюдента – это распределение случайной величины ,

где случайные величины и независимы, имеет стандартное нормальное распределение , а – распределение хи – квадрат с степенями свободы. При этом называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В.Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В.Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В.Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета - Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов.

В настоящее время распределение Стьюдента – одно из наиболее известных распределений среди используемых при анализе реальных данных. Его применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, по проверке гипотез о значениях математических ожиданий, коэффициентов регрессионной зависимости, гипотез однородности выборок и т.д.

В теории вероятностей дается следующее конструктивное определение распределения Стьюдента.

Предположим, что каждая из независимых случайных величин , распределена нормально с параметрами и (). Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы (записывается ).

График функции плотности -распределения см. на рис. 2.1.2 в двух вариантах: и . Заметим, что максимальное значение плотности распределения достигается при , и график симметричен относительно оси ординат.

Рис. 2.1.2. Функция плотности -распределения в двух вариантах: (1) , (2) .

Основные характеристики распределения Стьюдента

Обозначение
Область значений
Параметры	Параметр формы , число степеней свободы, целое положительное число
Плотность (функция вероятности)
Математическое ожидание
Дисперсия	, если
Функция распределения	Не выражается в элементарных функциях
Медиана
Мода
Коэффициент асимметрии	, если
Коэффициент эксцесса	, где

Свойства распределения.

1. Распределение Стьюдента симметрично. В частности, если , то .

2. Случайная величина имеет только моменты порядков , причем , если - нечетно; , если - четно. Моменты порядков не определены.

Связь с другими распределениями:

1. Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где , . Тогда по распределению при .

2. Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть , тогда .