Пример распределения Стьюдента

Пусть имеется устройство вывода, для которого можно установить режим пикселей, где - целое положительное число. Предположим, что оно получает информацию сразу по всей выходной матрице, а затем выводит ее по точкам. Тогда скорость обработки изображения будет подчиняться распределению Стьюдента.

Доказательство:

Так как вывод производится по точкам, то потребуется вывести точку ровно раз. Кроме того, потребуется также один раз принять информацию. В итоге получим, что требуется единиц времени. Скорость обработки обратно пропорциональна затраченному времени, т. е.. Если пренебречь коэффициентами, то последняя формула соответствует формуле для плотности распределения Стьюдента при .

Распределение Фишера – это распределение случайной величины ,

где случайные величины и независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы и соответственно. При этом пара (, ) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, – число степеней свободы числителя, а – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.

Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики.

Предположим теперь, что каждая из независимых случайных величин распределена нормально с параметрами и (). Тогда случайная величина имеет F-распределение с и степенями свободы (записывается ).

График функции плотности -распределения представлен на рис. 2.1.3 в двух вариантах: и .

Рис. 2.1.3. Функция плотности -распределения: (1) ; (2) .

Основные характеристики распределения Фишера

Обозначение
Область значений
Параметры	Количества степеней свободы – целые положительные числа и , параметры формы.
Плотность
Математическое ожидание	,
Дисперсия	,
Функция распределения	Не выражается в элементарных функциях
Мода	, если
Коэффициент асимметрии	, если

Свойства распределения:

1. Если , то .

2. Распределение Фишера сходится к единице, если , то по распределению при , где -дельта-функция в единице, т.е. распределение случайной величины-константы .

Связь с другими распределениями:

1. Если , то случайные величины сходятся по распределению к при .