![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 9. Векторы называются линейно не-зависимыми, если равенство
(2)выполняется только при условии
. Если в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы
называются линейно зависимыми.
Утверждение 1. Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается че-рез остальные.
Доказательство. а) Пусть векторы линейно зависимы, тогда в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например,
.В этом случае получаем
, то есть вектор
линейно выражается через остальные.
б) Пусть какой-то из векторов линейно выражается через ос-тальные, например, вектор , то есть
, тогда
, коэффициент при
отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависи-мы.
Утверждение 2. Для того, чтобы два вектора были линейно за-висимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были колли-неарными.
Доказательство. а) Пусть векторы и
линейно зависимы, тогда один из векторов линейно выражается через другой, на-пример,
, а это и означает, что векторы коллинеарны.
б) Пусть векторы и
коллинеарны, то есть
, значит,
, коэффициент при
отличен от нуля, следователь-но, по определению, векторы линейно зависимы.
Утверждение 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были ком-планарными.
Доказательство. а)Пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через остальные, на-пример,
, отнесем эти векторы к одному началу, проведем через векторы
и
плоскость
, тогда векторы
и
будут тоже принадлежать этой плоскости, следо-вательно, вектор
принадлежит плоскости
, то есть векторы компланарны.
б) Пусть векторы компланарны, перенесем их в одну точку плоскости, если векторы
и
не коллинеарны, то
, то есть
линейно выражается через
и
, это означает, что векторы линейно зависимы; если векторы
и
коллинеарны, то есть
, то
, значит вектор
линейно выражается через векторы
и
, следовательно, векторы линейно зависимы.
Рис.10
Определение 10. Совокупность линейно независимых векторов таких, что любой вектор линейно выражается через эти векторы, называется базисом.
Из утверждения 2 следует, что на плоскости базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора. Из утверждения 3 следует, что в пространстве базисом могут служить любые три некомп-ланарных вектора. Если векторы образуют базис, то произвольный вектор
линейно выражается через эти векторы, то есть
, тогда числа
являются координатами вектора
в данном базисе (
).
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 366 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!