Линейная зависимость и независимость векторов. Базис

Определение 9. Векторы называются линейно не-зависимыми, если равенство

(2)выполняется только при условии . Если в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы называются линейно зависимыми.

Утверждение 1. Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается че-рез остальные.

Доказательство. а) Пусть векторы линейно зависимы, тогда в равенстве (2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, .В этом случае получаем

, то есть вектор линейно выражается через остальные.

б) Пусть какой-то из векторов линейно выражается через ос-тальные, например, вектор , то есть , тогда , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависи-мы.

Утверждение 2. Для того, чтобы два вектора были линейно за-висимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были колли-неарными.

Доказательство. а) Пусть векторы и линейно зависимы, тогда один из векторов линейно выражается через другой, на-пример, , а это и означает, что векторы коллинеарны.

б) Пусть векторы и коллинеарны, то есть , значит, , коэффициент при отличен от нуля, следователь-но, по определению, векторы линейно зависимы.

Утверждение 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были ком-планарными.

Доказательство. а)Пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через остальные, на-пример, , отнесем эти векторы к одному началу, проведем через векторы и плоскость , тогда векторы и будут тоже принадлежать этой плоскости, следо-вательно, вектор принадлежит плоскости , то есть векторы компланарны.

б) Пусть векторы компланарны, перенесем их в одну точку плоскости, если векторы и не коллинеарны, то , то есть линейно выражается через и , это означает, что векторы линейно зависимы; если векторы и коллинеарны, то есть , то , значит вектор линейно выражается через векторы и , следовательно, векторы линейно зависимы.

Рис.10

Определение 10. Совокупность линейно независимых векторов таких, что любой вектор линейно выражается через эти векторы, называется базисом.

Из утверждения 2 следует, что на плоскости базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора. Из утверждения 3 следует, что в пространстве базисом могут служить любые три некомп-ланарных вектора. Если векторы образуют базис, то произвольный вектор линейно выражается через эти векторы, то есть , тогда числа являются координатами вектора в данном базисе ().