Доведення. Необхідність. Нехай матриця С є скалярною

Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд

С = .

Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.

Достатність. Нехай деяка матриця С загального вигляду

С = ,

комутує з будь-якою матрицею А. Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто , , якщо i ¹ j.

З того, що для будь-якої матриці А, випливає .

(1)

.

(2)

Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.

0 = , 0 = , …, , 0 = , j = 1,2,…n.

Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.