Матриці обернені до даних. Умови їх існування

Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.

Теорема 1. Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.

Доведення. Нехай задана матриця А, det A = 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:

det E = det . det A,

1 = 0, отримали суперечність.

Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує .

Теорему доведено.

Теорема 2. Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні.

Доведення. Нехай задано матрицю А.

,

причому det A = d 0.

Треба довести, що існує ліва обернена, права обернена матриці, та = . З матриці А побудуємо матрицю , заміною кожного елемента a_ij його алгебраїчним доповненням А_ij і протранспонувавши отримаємо матрицю:

= .

Доведемо, що задовольняє дві умови:

1) А = Е;

2) А = Е.

Доведемо

1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:

А × = =

= .

Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.

З першого пункта випливає = , а з другого пункту = .

.

Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:

= .

Вправа. Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).