Доведення. При доведенні слід розглянути 2 випадки

При доведенні слід розглянути 2 випадки.

1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:

Зауважимо, що після транспозиції положення та відносно інших елементів не зміниться. Таким чином, якщо , то вони створюють інверсію і після транспозиції інверсій стане на одну менше. Якщо , то загальна кількість інверсій навпаки збільшиться на одну.

Отже парність перестановки змінюється.

2. Між елементами та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться інші елементи:

Зробимо транспозицію поступово.

Будемо міняти місцями та сусідній справа, поки не поміняється із . Для цього буде необхідно зробити t+1 транспозицій.

Щоб поставити на місце , необхідно зробити транспозицій із сусідами зліва. Загалом буде зроблено 2t+1транспозицій, тобто в наслідок попереднього випадку парність перестановки змінюється.