Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(3)

где p и q - действительные числа. Для получения общего решения этого уравнения необходимо найти два частных линейно независимых решений y ₁ и y ₂. Тогда его общее решение будет иметь вид

Частное решение будем искать в виде , k -const. Для определения k подставим предполагаемое решение , и его производные в уравнение (3).

Получим

.

Так как , то Уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (3).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня и

Возможны следующие случаи:

1. k ₁ и k ₂ - действительные, различные,

П. k ₁ и k ₂ - действительные, равные.

Ш. k ₁ и k ₂ - комплексные числа,

Рассмотрим каждый из этих случаев.

I. Корни характеристического уравнения действительные, различные. В этом случае имеем два линейно независимых частных решения

Следовательно, общее решение имеет вид

II. Корни характеристического уравнения действительные, равные. В этом случае имеем только одно частное решение За второе линейно независимое частное решение возьмем функцию

Тогда общее решение в этом случае будет

Ш. Корни характеристического уравнения комплексные,

Общее решение в этом случае будет иметь вид

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

- общее решение.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

- общее решение

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

- общее решение.

имеет вид