Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (1)

где p и q - действительные числа.

Структура общего решения такого уравнения определяется теоремой:

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

и любого частного решения данного неоднородного уравнения.

.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида, частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию (метод неопределённых коэффициентов). Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).

1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

, (3)

где - многочлен n -ой степени. Тогда возможны следующие частные случаи:

a) число не является корнемхарактеристического уравнения

.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

, (4)

где -многочлен степени n, с неизвестными коэффициентами. Чтобы найти коэффициенты многочлена , искомое частное решение (4) подставляют в левую часть уравнения (1) и производят соответствующие упрощения. В полученном тождестве приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно (n +1)), получим систему (n +1) уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

б) число является корнем характеристического уравнения кратности r, r= 1,2. (.

В этом случае частное решение следует искать в виде

(5)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

.

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число = k ₁является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

.

Для определения неизвестных коэффициентов подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. Будем иметь:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

Следовательно, частное решение будет

.

Общее решение имеет вид

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число a = 1 является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у^* будем искать в виде

Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. После приведения подобных членов и сокращения на , будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

Следовательно, частное решение имеет вид

Таким образом, общее решение данного уравнения будет

2. Пусть правая часть имеет вид

(6)

где P (x) и Q (x) – многочлены от х. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:

а) если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения(1) ищем в виде

, (7)

где U (x) и V (x)- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

б) если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

, (8)

где U (x) и V (x)- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

Указанные формы частных решений (7) и (8), сохраняются и в этом случае, когда в правой части уравнения (6) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда первая часть имеет вид

или .

Рассмотрим важный частный случай, когда правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид

(9)

где M, N - постоянные числа.

а) Если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

. (10)

б) Если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

. (11)

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

Сравнивая ее с общей формой правой части , замечаем, что число bi = 1 i не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у^* будем искать в виде

Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение.

Группируя и приводя подобные члены, будем иметь

Полученное равенство является тождеством. Поэтому коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях равенства должны быть равны. Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений для определения А и В

Таким образом, частное решение имеет вид

а общее решение уравнения