Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение n -го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных у ’, y”,...

,y^(n-1), y^{(n )}, т.е. имеет вид

где и f(x) - заданные функции от х или постоянные, причем а ₀ ¹ 0 для всех значений х, принадлежащих области существования решения. В дальнейшем линейное дифференциальное уравнение n -го порядка будем рассматривать в виде

(1)

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным или уравнением без правой части.

Свойство линейности. Если есть решения уравнения (1), то где произвольные постоянные, есть решение этого же уравнения.

Функции называются линейно зависимыми на некотором отрезке изменения х, если существуют такие числа не все равные нулю, что на том же отрезке

(2)

Если же тождество (2) справедливо лишь при , то функции называются линейно независимыми на отрезке

Теорема о структуре общего решения.

Если линейно независимые решения однородного уравнения

,

то где произвольные постоянные, есть его общее решение.