Лекция 18

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка (простейшие случаи).

Цель лекции. Изучить основные понятия теории дифференциальных уравнений. Изучить простейшие типы дифференциальных уравнений высшего порядка, допускающих понижение порядка и методы их решений.

Основные вопросы.

1. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Основные понятия и определения. Задача Коши.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка и методы их решения (простейшие случаи).

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1.-456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник –Алматы,2003 –686с.

3. Сапа А.В., Гресь А.М. Дифференциальные уравнения. Алматы. Академия ГА,1996.

Краткое содержание.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения.

Дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные до n - го порядка включительно.

Общим решением дифференциальным уравнения n - го порядка называется функция

зависящая от х и n произвольных постоянных такая, что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях

б) При заданных начальных условиях

Постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Соотношение вида неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения (общего интеграла) при конкретных значениях постоянных , называется частным решением (частным интегралом). График частного решения называется интегральной линией данного дифференциального уравнения.

Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение n- го порядка значит:

· найти общее решение (если начальные условия не заданы) или

· найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если они имеются).

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.