Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Пусть плоская фигура D представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей j = a и j = b. Отрезки лучей могут вырождаться в точку. Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение. Область определения функции будет

2. Вычисление объемов тел с известными площадями поперечных сечений.

Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства. Будем предполагать, что известны площади сечений этого тела плоскостями х = const. Площадь таких сечений будет функцией от х, S = S(x) Тогда объем такого тела можно вычислить по формуле

.

В частном случае, когда тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f(x), a£ x£ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

Пример. Определитьобъем тела эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса вокруг оси Ох.