Сумма ряда и его сходимость

Определение 1. Рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых

U₁+U₂+U₃+…+U_n+…, (1)

являющихся членами бесконечной последовательности {U_n}. Символы U_1,U_2,U_3,…,U_n…, называются членами ряда. Они могут быть числами, функциями, матрицами и т.д., а соответствующие ряды называются числовыми, функциональными, матричными и т.п.

Сокращенно ряд обозначается так:

индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.

Член U_n, номер которого не фиксирован_, называется общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член, выраженный как функция номера n.

Например:

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда.

S_n=U₁+U₂+…+U_n (2)

Определение 3. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

(3)

Число S называется суммой ряда (1).

Разность r_n=S-S_n называют остатком ряда.

Примеры:

1. рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию

b+b_q+b_q²+…+b_qn+… (4),

где b- первый член прогрессии, q- знаменатель прогрессии.

Сумма n-первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле: .

Сходимость ряда (4) зависти от значений знаменателя q.

Рассмотрим следующие случаи:

а)

Ряд (4) сходится.

б)

Ряд расходится.

в) q=1 b+b+b+…+b+…

S_n=nв

Ряд (4) расходится.

г) q=-1 b-b+b-b+…+(-1)ⁿ⁺¹b+…

не существует, значит ряд (4) расходится.

Бесконечная геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда абсолютная величина знаменателя ее меньше единицы.

т.е. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть ряд сходящийся.

1. Исследовать на сходимость ряд:

Решение:

Найдем сумму ряда

S_n=

Преобразуем общий член ряда по методу неопределенных коэффициентов

U_n=

1=A(n+1)+Bn

n=0; 1=A; A=1.

n=-1; 1=-B; B-1

тогда

ряд сходится и его сумма S=1.

Определение 4. Если в ряде (1) , то ряд называют положительным.