Интегральный признак сходимости Коши

Теорема: пусть дан положительный ряд

U₁+U₂+U₃+…+U_n+… (1)

с убывающими членами .

а f(x), определенная в промежутке [1,+ } монотонно убывает в нем и при х=n принимает значения

f(n)=U_n,

тогда данный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл

и расходится в противном случае.

Теорему принимаем без доказательства.

Пример 5: исследовать по интегральному признаку ряд

Решение: f(n)=

несобственный интеграл не существует, следовательно ряд расходится.

Замечание: Интегральный признак Коши позволяет сделать заключение о характере ряда в тех случаях, когда признаки Даламбера и Коши оказываются бессильными (т.е. тогда, когда получается,что ). Поэтому интегральный признак Коши следует считать сильнее этих признаков. Тем не менее на практике применение интегрального признака часто вызывает затруднения, связанные с вычислением несобственного интеграла .