Решение линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка (1)

можно применить и другой метод, так называемый метод вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим соответствующее уравнение без свободного члена (2)

В этом уравнении переменные разделяются, и его общее решение находится сразу

, ,

. Потенцируем последнее равенство:

, (3)

Общее решение (1) будем искать из (3), заменяя в ней произвольную постоянную некоторой дифференцируемой функцией c(x), тогда (3) выглядит так:

, =

Подставляя в (1) имеем:

;

.

Подставляя в (3), получим окончательное решение

Пример. (4)

Решение. , ;

; ; ;

; .(5)

Подставляем в данное уравнение:

;

(6)

Подставляя (6) в (5), имеем:

- общее решение данного уравнения.

Вопросы для самопроверки

1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Геометрический смысл дифференциального уравнения.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Список используемой литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.