Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.

Определение. Многочлен называется однородным измерения n, если все его члены имеют одно и то же измерение n, т.е. для каждого члена этого многочлена сумма показателей i+j=n

Определение. Дифференциальное уравнение

или (15)

называется однородным, если функция f(x,y) однородная нулевой степени.

Уравнение (15) запишем в таком виде: (16)

Введем новую переменную или (17)

, подставив в (16), получим:

Однородное дифференциальное уравнение (15) приводится к уравнению с разделяющими переменными

. Следовательно, (18)

В левой части (18) найдем интеграл, вместо u подставим отношение и получим искомый общий интеграл.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

. (х+у) и х - однородные функции 1-го измерения, поэтому уравнение однородное.

Полагаем , ,

,

, , делим на х,

, ,

, ; ; , где

Ответ: