Признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда с положительными членами

U₁+U₂…+U_n+… (8),

V₁+V₂+…+V_n+… (9),

если начиная хотя бы с некоторого номера , ыполняяется неравенство (10), то из сходимости ряда (9) следует сходимость ряда (8) и из расходимости ряда (8) вытекает расходимлсть ряда (9).

Пример 1: Рассмотрим ряд

(11),

сравним его с рядом

(12),

который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и сходящимся рядом. Сравним члены рядов (11) и (12), . Члены ряда (11) меньше соответствующих членов сходящегося ряда (12), значит ряд (11) также сходится.

Пример 2: исследовать на сходимость ряд

(13)

Решение

Этот ряд сравним с гармоническим рядом

(14), который расходится.

Сравним члены ряда (14)

в силу второй части теоремы ряд (13) расходится.

Общее указание:

При исследовании сходимости ряда на основании теоремы сравнения следует найти выражение общего члена исследуемого ряда и сравнить его с общим членом ряда сравнения. Чаще всего в качестве рядов сравнения употребляются геометрический ряд и обобщенный гармонический ряд.