Общие понятия. Уравнения связывающие между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные различных порядков по x называются дифференциальными

Уравнения связывающие между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные различных порядков по x называются дифференциальными уравнениями. Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

(1) – общий вид дифференциального уравнения n-го порядка.

Например: - дифференциальное уравнение II – порядка, - дифференциальное уравнение V порядка.

Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если левая часть его первой степени относительно функции y и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

(2)

- функции от x называются коэффициентами линейного уравнения, а функция f(x) – правой частью или свободным членом его. Если f(x)=0, то (2) называется однородным (или без правой части) в противном случае это уравнение называется неоднородным (или с правой частью).

Решением дифференциального уравнения называется функция (3), которая вместе со своими производными удовлетворяет уравнению (1), т.е. обращает его в тождество. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения. В общем случае для нахождения решений уравнения (1) потребуется n последовательных интегрирований, следовательно, решение общего вида будет содержать n произвольных постоянных, причем эти произвольные постоянные независимые, т.е. любую из них нельзя выразить через другие, число их равно порядку дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция (4),

которая зависит от аргумента x и n независимых произвольных постоянных , обращающая вместе со своими производными уравнение (1) в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде будет:

(5)

Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянными определенные числовые значения.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной функции f(x), сводится к решению простейшего дифференциального уравнения.

, ,

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Решение. , ,

, , ,

- общее решение.

Решение содержит две произвольные постоянные и (число их равно порядку уравнения).

Найдем несколько частных решений.

1) , , тогда y = 2x+3

2) , , тогда y=1 и т.д., т.е. частных решений бесконечно много.