Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона

У загальному випадку інтерполяція по формулах Ньютона може здійснюватися для довільно розташованих вузлів інтерполяції, але частіше – для рівномірно розташованих вузлів.

Тоді , де .

Метод використовує поняття скінчених різниць:

- різниці 1-го порядку

- різниці 2-го порядку

- різниці 3-го порядку

Для визначення різниці k – го порядку потрібне знання всіх точок від до :

(5.7)

Можна помітити, що за наявності n+1 точок (0,1,2,.., n), скінчену різницю 1- го порядку можна обчислити тільки для перших n точок (0,1,2,....,n –1), скінчену різницю n – го порядку – тільки для нульової точки, а k– го порядку - тільки для перших n - k+1 точок, тобто треба знати k точок попереду. Інтерполяційниймногочлен Ньютона записується таким чином:

(5.8)

Це теж поліном n – гопорядку, якщо виконати відповідні множення, то скінчені різниці у виразі – це числові коефіцієнти, обчисленіпо заданих точках.

Часто замість х вводять безрозмірну величину q, що показує, скільки міститься кроків від до заданої точки .Ця величина визначається таким чином:

.

Тоді

(5.9)

Обидві приведені формули називаються першим інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції вперед.

Для інтерполяції в правому кінці відрізка , коли для k останніх точок не можна обчислити потрібні скінчені різниці, використовують многочленНьютона, в якому скінчені різниці обчислюються справа наліво, тобто здійснюється інтерполяція назад. Такий многочлен називається другим інтерполяційниммногочленомНьютона для інтерполяції назад.

В цьому випадку

(5.10)

Похибку інтерполяції, як і для многочлена Лагранжа, можна оцінити так:

. (5.11)

Використовування скінчених різниць, що є своєрідними аналогами похідних неперервних функцій, допомагає знаходити похибку інтерполяції, використовуючи співвідношення:

, , ,…, .

Тоді для отримання наближеного значення достатньо мати декілька (або навіть одну) додаткових точок , з використанням яких легко знайти максимальне значення скінченої різниці (n+1) – го порядку:

(5.12)

Аналогічно можна знайти похибку і в методі Лагранжа при рівномірному кроці.

Приклад. Задана таблиця значень функцыъ , необхідно знайти у(2,05). Використовуємо для інтерполяції тільки три перші точки, а решту – для оцінок похибки.

Отже, n+1=3, n=2

х	у	Δy	Δ²y	Δ³y
2,0	0,0540	-0,0100	0,0015	-0,0002
2,1	0.0440	-0,0085	0,0013
2,2	0.0355	-0,0072	0,0013	-0,0003
2,3	0.0283	-0,0057	0,0010	-0,0001
2,4	0.0224	-0,0049
2,5	0.0175	-0,0049
2,6	0.0136

Скористаємося першою інтерполяційною формулою Ньютона:

Оцінимо похибку знайденого значення у. З таблиці знаходимо, що М3=0,001,

тоді

Формули Лагранжа, Ньютона і інші породжують один і той же многочлен. Різниця лише в алгоритмі їх побудови. Вибір способу інтерполяції визначається різними міркуваннями: точністю, часом обчислень, похибками округлення тощо.

Підвищення точності інтерполяції доцільно проводити за рахунок зменшення кроку і спеціального розташування вузлових точок . Підвищення степеня інтерполяційного многочлена також підвищує точність, проте не завжди (залежить від поведінки похідної . Тому на практиці прагнуть використовувати многочлени малого степеня (лінійний, квадратичний).