Концепція інтерполяції та екстраполяції

Рішення задач інтерполяції і екстраполяції забезпечується побудовою інтерполяційної функції , яка приблизно замінює початкову таблично задану функцію , і проходить через задані точки – вузли інтерполяції, тобто . За допомогою цієї функції можна приблизно визначити значення початкової функції у будь-якій точці.

Процеси побудови інтерполяційної та екстраполяційної функції тотожні.

Якщо інтерполяційна функція проходить через все вузлові точки, то така інтерполяція називається глобальною; якщо інтерполяційна функція будується окремо для різних частин заданого інтервалу, то – локальною інтерполяцією.

Для вирішення задачі інтерполяції необхідно розглянути три проблеми:

- вибір інтерполяційної функції ;

- оцінка похибки інтерполяції ;

- розміщення вузлів інтерполяції для забезпечення найбільшої можливої точності відновлення початкової функції .

Вибір інтерполяційної функції в загальному випадку є досить складною і важливою задачею, особливо якщо пам’ятати, що через задані точки можна провести будь-яку кількість функцій (рис. 5.1).

Рис. 5.1 - Ілюстрація інтерполяції

Проте, найбільше застосування як інтерполяційна функція отримав поліном вигляду

(5.1)

Всі інтерполяційні функції у вигляді поліномів дають одні і ті ж результати, але з різними витратами. Це пояснюється тим, що поліном -ого степеня, що містить параметр (коефіцієнт), і проходить через усі задані точки, єдиний. Крім того, поліном можна представити як усічений ряд Тейлора, в який розклали початкову функцію. Це, мабуть, одна з головних переваг полінома як інтерполяційної функції, оскільки такий підхід дозволяє оцінити точність усікання.

Коефіцієнти полінома -ого степеня визначаються шляхом розв’язування системи рівнянь , складених для вузлових точок. Проте цей спосіб не найефективніший. Для деяких видів полінома коефіцієнти можна визначити аналітичним шляхом, наприклад для многочленів Лагранжа і Ньютона.

Що стосується вибору вузлів інтерполяції, то вони, як правило, розміщуються рівномірно на відрізку інтерполяції, хоча в деяких випадках для підвищення точності вибираються спеціальним чином.

Спочатку розглянемо деякі види локальної інтерполяції, а саме: лінійну, квадратичну і сплайн-інтерполяцію.