Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа

Нехай відомі значення функції в точках . Для інтерполяції функції в довільній точці , що належить відрізку , необхіднопобудувати інтерполяційний поліном n-го порядку, який в методі Лагранжа має вигляд:

(5.4)

де

Якщо розкрити добутки всіх дужок в чисельнику (в знаменнику всі дужки є числами), то отримаємо поліном n-го порядку від х, тобто в чисельнику n співмножників першого порядку. Наступний поліном Лагранжа не що інше, як звичайний поліном n-го порядку, але записаний в іншій формі. Підставляючи l(x) у вираз для L(x), отримаємо

(5.5)

Неважко помітити, що у вузлах інтерполяції:

Оцінити похибку інтерполяції в точці (друга проблема інтерполяції) можна по формулі:

(5.6)

де - максимальне значення -ої похідної початкової функції f(x) на відрізку .

Отже, щоб оцінити похибку, треба знати , що не завжди можливо.

З формули (5.5) можна отримати вираз для лінійної і квадратичної інтерполяції без обчислення відповіднихкоефіцієнтів.