Метод ітерації для системи двох рівнянь

Нехай задано систему двох рівнянь з двома невідомими

(4.25)

дійсні корені якої потрібно знайти з заданою точністю.

Припустимо, що система (4.25) має лише ізольовані корені. Кількість цих коренів та їх грубі наближені значення можна встановити, побудувавши криві та , та визначивши наближено координати їх точок перетину.

Нехай - наближені значення коренів системи (4.25), знайдені графічно чи яким-небудь іншим способом (наприклад, грубою прикидкою).

Задамо ітераційний процес, який дозволяє при відомих умовах уточнити дані наближені значення коренів. Для цього представимо систему (4.25) у вигляді

(4.26)

та побудуємо послідовні наближення за такими формулами:

(4.27)

Якщо ітераційний процес збігається, тобто існують границі та , то ці границі та є коренями системи (4.25). Отже, взявши достатньо велике число ітерацій (4.27), ми отримаємо числа та , які будуть відрізнятися від точних коренів та системи (4.25) як завгодно мало. Таким чином, задача буде розв’язаною. Якщо ітераційний процес (4.27) розбіжний, то його не можна використовувати.

Умови збіжності ітераційного процесу (4.27) задає наступна теорема.

Теорема 1 (без доведення). Нехай у деякій замкнутій області (рис. 4.11) існує одна й лише одна пара коренів та системи (4.26).

Якщо:

1) функції , визначені, неперервно диференційовані у ;

2) початкові наближення та всі наступні наближення належать ;

3) у виконані нерівності

то процес послідовних наближень (4.27) збігається до коренів та системи (4.26), тобто та .

Зауваження. Теорема залишається вірною, якщо умову (4.27) замінити умовою

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Приклад. Для системи

знайти додатні корені з чотирма значущими цифрами.

Розв’язок. Будуємо графіки функцій та (рис. 4.12).

Наближені значення шуканих коренів .

Для застосування методу ітерації запишемо задану систему рівнянь у наступному вигляді:

Знаходимо частинні похідні:

Тут .

Обмежуючись областю , будемо мати:

Звідси

Отже, якщо послідовні наближення не вийдуть за межі області (що легко встановити у процесі обчислень), то ітераційний процес буде збіжним.

Обчислюємо послідовні наближення за формулами:

Результати обчислень відображені у таблиці:

	3,5	2,2
	3,479	2,259
	3,481	2,260
	3,484	2,261
	3,486	2,261
	3,487	2,262
	3,487	2,262

Таким чином, можна прийняти

Зауваження. Замість розглянутого процесу послідовних наближень (4.27) інколи зручно користуватися «процесом Зейделя»: