Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Нехай корінь рівняння
(4.12)
Відділений на відрізку , причому та неперервні та зберігають сталі знаки при . Знайшовши яке-небудь -е наближене значення кореня , ми можемо уточнити його методом Ньютона по формулі:
. (4.13)
Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною в деякій точці кривої. Справді, покладемо для визначеності, що при та (рис. 4.5).
Виберемо, наприклад, , для якого . Проведемо дотичну до кривої в точці .
Для першого наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю . Через точку знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю дасть нам друге наближення кореня і т. д. (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Очевидно, що рівняння дотичної в точці є
.
Поклавши , отримаємо формулу (4.13):
.
Зауважимо, що, якщо у нашому випадку покласти і, отже, , то, провівши дотичну до кривої в точці , ми отримали б точку (рис. 4.5), що лежить поза відрізком , тобто при такому виборі початкового значення метод Ньютона не приведе до мети. Таким чином, у даному випадку «хорошим» початковим наближенням є таке, для якого виконується нерівність
(4.14).
Це правило є загальним для методу Ньютона.
Зауваження 1. Якщо: 1) функція визначена і неперервна при ; 2) ; 3) при ; 4) існує всюди і зберігає сталий знак, то при застосуванні методу Ньютона для знаходження кореня рівняння , який лежить у інтервалі , за початкове наближення можна прийняти будь-яке значення . Зокрема, можна покласти або .
Зауваження 2. З формули (4.13) видно, що чим більше числове значення похідної у околі даного кореня, тим менша поправка, яку треба додати до -го наближення, щоб отримати -е наближення. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли у околі даного кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими, і обчислення кореня за методом Ньютона може виявитися дуже довгим, або і взагалі неможливим. Отже, якщо крива біля точки перетину з віссю майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона для розв’язування рівняння не рекомендується.
Для оцінки похибки -гo наближення знову можна скористатися формулою
(4.15),
де — найменше значення на відрізку .
Має місце ще одна формула для оцінки точності наближення :
(4.16).
Отже, якщо задатися якоюсь точністю , то обчислення за методом Ньютона можна виконувати до тих пір, коли різниця між двома сусідніми наближеннями за абсолютною величиною стане меншою від . А потім прийняти значення кореня рівняння рівним останньому наближенню.
Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з п’ятьма вірними знаками.
Розв’язок.
Послідовно приймаючи у лівій частині рівняння , отримаємо .
Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Звузимо знайдений інтервал. Так як , то .
Перша та друга похідні:
У останньому знайденому інтервалі похідні зберігають сталі знаки: та . Так як і , то можемо прийняти за початкове наближення . Послідовні наближення обчислюємо за такою схемою:
-11 | -5183 | 0,7 | ||
-10,3 | 134,3 | -4234 | 0,03 | |
-10,27 | 37,8 | -4196 | 0,009 | |
-10,261 | 0,15 | -4185 | 0,00004 |
Так як поправка є фактично різницею між двома сусідніми наближеннями кореня, то можна покласти .
Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю .
Розв’язок. Побудувавши графіки функцій та (рис. 4.6), робимо висновок, що шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Перепишемо рівняння у вигляді , матимемо:
Рис. 4.6
Звідси та при . Так як , то за початкове наближення можна прийняти . Обчислення виконуємо за наступною схемою:
-1 | -4,712 | |||
-0,0291 | -4,399 | |||
-0,00003 | ----- |
Надаємо можливість читачу самостійно здійснити оцінку похибки наближеного значення .
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 708 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!