Комбінований метод

Нехай , і зберігають сталі знаки на відрізку . Об’єднуючи методи хорд та Ньютона, отримаємо метод, на кожному етапі якого знаходимо значення з нестачею та значення з надлишком точного кореня рівняння .

Звідси, зокрема, випливає, що цифри, спільні для і , обов’язково належать точному кореню . Теоретично можливі чотири випадки:

1) (мал. 4.7);

2) (мал. 4.8);

3) (мал. 4.9);

4) (мал. 4.10).

Ми обмежимося розглядом першого випадку. Інші випадки вивчаються аналогічно, причому характер обчислень легко зрозуміти з відповідних малюнків. Зауважимо, що ці випадки можна звести до першого, якщо замінити досліджуване рівняння рівносильними йому рівняннями: та , де .

Отже, нехай та при . Покладемо та

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Рис. 4.9 Рис. 4.10

У формулах та метод хорд застосовується на кожному кроці до нового відрізка .

Легко встановити, що

(4.18).

Отже, якщо абсолютна похибка наближеного кореня задана попередньо і рівна , то процес зближення закінчується тоді, коли буде встановлено, що . По закінченню процесу значення кореня краще всього прийняти рівним середньому арифметичному знайдених останніх значень:

.

Приклад. Обчислити з точністю єдиний додатний корінь рівняння

.

Розв’язок. Так як і , то корінь знаходиться в інтервалі . Маємо:

та .

У вибраному нами інтервалі перша та друга похідні зберігають додатний знак.

Застосуємо комбінований метод, поклавши та .

Обчислення за формулами та дадуть такі результати:

.

Так як , обчислення потрібно продовжити. Знаходимо наступну пару наближень:

.

Так як , обчислення слід закінчити.

Можна покласти:

.