Метод простої ітерації

Ітерація – результат повторного використання якої-небудь математичної операції.

Найпростішим ітераційним методом розв’язування СЛАР є ітераційний метод Гауса (метод простої ітерації).

Проілюструємо цей метод на прикладі розв’язування СЛАР 3-го порядку

(3.1)

Припустимо, що . Розв’яжемо перше рівняння відносно , друге рівняння – відносно , третє – відносно .

Маємо:

(3.2)

Задамо деякі початкові (нульові) наближення невідомим. Підставляючи у праві частини наведених вище рівнянь ці початкові значення, отримаємо нові (перші) наближення для :

(3.3)

Використовуючи обчислені значення , знайдемо наступні (другі) наближення :

Кожні наступні наближення знаходимо аналогічно:

У загальному випадку для СЛАР го порядку:

. (3.4)

Ітераційний процес продовжується доти, поки на сусідніх ітераціях значення та не відрізнятимуться один від одного на задану величину похибки, тобто

(3.5)

або

, якщо . (3.6)

Розглянемо простий приклад.

звідки

Покладемо .

Нехай

Перша ітерація:

.

Друга ітерація:

.

Третя ітерація:

.

Четверта ітерація:

.

П’ята ітерація:

.

Потрібна точність досягнута, отже:

Легко знайти точні значення розв’язків системи рівнянь:

.

Похибки обчислень: