Метод Гаусса-Зейделя

Цей метод відрізняється від методу простої ітерації тільки тим, що для обчислення використовуються вже знайдені на цій (а не на попередній) ітерації нові значення .

Для СЛАР 3-го порядку:

(3.7)

Для ої ітерації

(3.8)

У загальному випадку для СЛАР го порядку

. (3.9)

Якщо для кожного існує скінчена границя послідовності при , то такий ітераційний процес називається збіжним, а розв’язки системи рівнянь:

.

При цьому максимуми різниці між значеннями змінних на двох послідовних ітераціях прямують до нуля, тобто .

Збіжність ітераційного процесу. Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб модуль діагонального коефіцієнта для кожного рівняння системи був не менше суми модулів всієї решти коефіцієнтів цього рівняння (тобто в рядку):

(3.10)

При цьому хоча б для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких СЛАР ітераційний процес сходиться і при порушенні умов (3.10).

Розглянемо попередній приклад та застосуємо до нього метод Гауса-Зейделя.

звідки

Покладемо .

Нехай

Перша ітерація:

.

Друга ітерація:

.

Третя ітерація:

.

Четверта ітерація:

.

Потрібна точність досягнута, отже:

Похибки обчислень:

Порівнюємо методи простої ітерації та Гаусса-Зейделя.

Потрібна точність досягнута швидше при застосуванні методу Гаусса-Зейделя (4 ітерації), ніж при застосуванні методу простої ітерації (5 ітерацій). Отже, можна стверджувати, що, взагалі кажучи, метод Гаусса-Зейделя збігається швидше, ніж метод простої ітерації, він потребує менше машинного часу. більш того, за ці 4 ітерації методом Гаусса-Зейделя досягнуто точності 0,01.

Графічна інтерпретація методу Гаусса-Зейделя виглядатиме так

Рис. 3.1 – Збіжність ітераційного процесу

Процес сходиться до значення .

Тут умови збіжності виконуються, оскільки і .

Подивимося, що вийде, якщо поміняємо місцями ці рівняння

звідки

Процес розходиться (див. рис. 3.2).

Рис. 3.2 – Розбіжний ітераційний процес

Порівняння прямих та ітераційних методів.

1. Прямими методами теоретично можна розв’язати будь-яку невироджену СЛАР, а ітераційні методи сходяться не для всіх систем рівнянь, тобто прямі методи мають велику область розв’язків.

2. Обсяг обчислень прямих методів приблизно операцій, а Гаусса-Зейделя – приблизно (кількість ітерацій), тому загальні витрати машинного часу у методі Гаусса-Зейделя будуть менші.

3. Помилки округлення в ітераційних методах менші. Це має вирішальне значення при розв’язуванні великих СЛАР.