Обчислення значень аналітичної функції

Дійсна функція називається аналітичною в точці , якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в степеневий ряд (ряд Тейлора):

(2.11).

При = 0 одержуємо ряд Маклорена

(2.12)

Різниця

називається залишковим членом й являє собою похибку при заміні функції поліномом Тейлора

.

Як відомо,

, (2.13)

де (грецька буква «тета»).

Зокрема, для ряду Маклорена (2.12) маємо:

. (2.14)

Є також інші форми запису залишкових членів.

Розклад функції в ряд Тейлора в багатьох випадках є зручним способом обчислення значень цієї функції.

Якщо відомо й потрібно знайти значення , де — «мале відхилення», то формулу (2.11) вигідно записувати у вигляді

, (2.15)

де

.

Приклад. Приблизно обчислити .

Розв’язок. Маємо:

(2.16)

Поклавши

,

послідовно одержимо:

Звідси, прийнявши , і з огляду на те, що

у силу формули (5) знаходимо:

, (2.17)

де

.

Очевидно

.

Округляючи до чотирьох знаків, запишемо:

.

Для порівняння приводимо табличне значення: