Обчислення значень логарифмічної функції

Для натуральних логарифмів чисел, близьких до одиниці, справедливий розклад:

. (2.25)

Формула (2.25) малопридатна для обчислень, тому що діапазон чисел невеликий та, крім того, при , близькому до одиниці, ряд (2.25) сходиться повільно.

Уведемо більше зручну формулу для обчислень натуральних логарифмів чисел. Для цього скористаємося аналогом формули (2.25) для , а також зробимо заміну

. (2.26)

Одержимо (спробуйте це зробити самостійно) формулу:

(2.27)

Нехай - додатне число. Представимо його у вигляді

,

де

- ціле число та . Тоді, поклавши

,

де

,

і застосовуючи формулу (2.27), будемо мати:

.

Застосувавши позначення

,

одержимо:

. (2.28)

Можна показати, що при заданій точності процес підсумовування припиняється (досягається необхідна точність), як тільки

,

де

.

Приклад. Знайти з точністю до .

Розв’язок. Обчислення будемо виконувати із двома запасними знаками. Покладемо

.

Звідси , і

Маємо:

Використовуючи формулу (2.28), одержуємо:

.

Зауваження. Можна також обчислювати натуральні логарифми чисел, виходячи з представлення числа :

,

де - ціле число та .

Для обчислення десяткових логарифмів використовується формула

,

де

.