Формулы движений

Пусть имеется некоторые движение f плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (x ^/;у^/) – координаты ее образа М^/ при движении f в этой же системе координат:

f .

Найдем аналитическое выражение движения f в системе координат , то есть формулы, связывающие координаты точки и ее образа при движении.

Теорема 1: движение 1-го рода задается формулами:

(1)

А движение 2-го рода задается формулами:

(2)

Доказательство.

1)

y

y/

M

x

y/

M/

/

/

O/

y

x

x/

x/

x

=

Пусть f – движение 1-го рода, причем согласно замечанию 2 (пункт 4) из §26 при движении прямоугольная декартова система координат отображается на прямоугольную декартову систему координат.

По определению движения имеем: ОМ=О^/М^/ - диагонали прямоугольников с вершинами М и М^/ и сторонами на соответствующих … координат равны. Тогда равны и сами эти прямоугольники. Поэтому точка М^/ имеет в системе координат те же самые координаты х, у, что и точка М в системе координат .

Применим к точке М^/ теорему 2 из §11, учитывая, что движение первого рода типа системы координат:

> (3)

Где () – «новые» ординаты точки М^/ в «старой» системе координат , но теперь они равны и соответственно. В правой части равенств (3) стоят координаты точки М^/ в «новой» системе координат , но теперь они равны х и у соответственно.

Заменим координаты х, у, координатами , , и таким образом получим формулы (1).

2) Если f – движение 2-го рода, то формулы (2)доказываются аналогично, если учесть, что движение 2-го рода изменяет ориентацию плоскости и тип системы координат на противоположные.

Замечания:

1) В формулах (1) и (2) - () – координаты точки О^/ - образа «старого» начала координат О – в «старой» системе координат : .

;

2) Формулы (1) и (2) можно объединить следующим образом:

где ε= 1. (1)

3) Имеет место теорема, обратная доказанной.

Теорема 2: всякое преобразование плоскости, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (1), является движением 1-го рода, а формулами (2) – движением 2-го рода;

4) Формулы движений имеют внешнее сходство с формулами перехода от одной системы координат к другой (см. §11). Однако, формулы движений связывают координаты двух точек – М и ее образа М^/ - в одной и той же системе координат, а формулы перехода связывают одной и той же точки в разных системах координат – «старой» и «новой».

Частные случаи движений:

I. Движения 1-го рода:

1)

2)

вокруг начала координат на угол .

3)

симметрии с центром О (0;0).

II. Движения 2-го рода:

1)

с осью О _х.

2)

с осью О _у.