Группа преобразований

Определение 1: преобразованием фигуры F называется ее взаимно однозначное отображение на себя.

Замечания:

1) По определению преобразование фигуры F – это такая биекция f, что f (F)=F (образом фигуры F является сама фигура F);

2) Согласно замечанию 3 из §24 для любого преобразования существует ему обратное преобразование и композиция любых двух преобразований ему некоторое преобразование;

3) В учебнике А.В. Погорелова (школьном и вузовском) под преобразованием понимается отображение фигуры не только на себя, но и на другие фигуры.

Примеры:

1) F – окружность, f – симметрия относительно диаметра АВ или центра О. В этом случае f (F)=F и f преобразование окружности в себя.

2) Пусть фигура F – вся плоскость. Тогда все отображения, рассмотренные ранее (параллельный перенос, осевая и центральная симметрии, поворот, тождественное преобразование) является преобразованиями плоскость.

Определение 2: множество G преобразований фигуры F называется группой, если выполняются следующие два условия:

1) композиция любых двух преобразований из G также является преобразованием. Принадлежащим G:

(f₁ G f₂ G) ⇒ (f₂ ° f₁ G);

2) преобразование, обратное любому преобразованию из G, есть также преобразование, принадлежащее G:

(f G) ⇒ (f^-1 G).

Теорема 2: группа G преобразований F содержит тождественное преобразований ε.

Доказательство.

Пусть f G – произвольное преобразование фигуры F. Тогда по условию 2) определения 2 имеем: f^-1 G, а по условию 1) определения 2 имеем: f^-1 ° f G. f^-1 ° f , значит, G.

Замечание: в теореме из §23 было доказано, что для композиции преобразований справедлив ассоциативный закон:

f₃ °(f₂ ° f₁)= (f₃ ° f₂)° f₁.

Таким образом, определение 2 полностью согласовано с общим определением группы, известным из курса алгебры. (Непустое множество выполняются 4 аксиомы).

Определение 3: непустое множество G элементов произвольной природы называется группой, если выполняются следующие 4 аксиомы:

1) на множестве G определена бинарная операция (g₁, g₂) g₃;

2) эта операция ассоциативна: ((g₁, g₂), g₃)= (g₁, (g₂, g₃));

3) G обладает нейтральным элементом e: (g, е)=(е;g)=g;

4) Для каждого элемента g G существует обратный элемент g^-1:

(g, g^-1)=(g^-1;g)=e

для любых элементов g, g₁, g₂, g₃ множества G.

Определение 4: группа преобразований G₁ называется подгруппой группы преобразований G, если композиция преобразований из G₁ определена так же, как и в группе G.

Пример: параллельный перенос вдоль прямой l║J=О_х образуют группу, которая является подгруппой группы всех параллельных переносов плоскости.