![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1: преобразованием фигуры F называется ее взаимно однозначное отображение на себя.
Замечания:
1) По определению преобразование фигуры F – это такая биекция f, что f (F)=F (образом фигуры F является сама фигура F);
2) Согласно замечанию 3 из §24 для любого преобразования существует ему обратное преобразование и композиция любых двух преобразований ему некоторое преобразование;
3) В учебнике А.В. Погорелова (школьном и вузовском) под преобразованием понимается отображение фигуры не только на себя, но и на другие фигуры.
Примеры:
1) F – окружность, f – симметрия относительно диаметра АВ или центра О. В этом случае f (F)=F и f преобразование окружности в себя.
2) Пусть фигура F – вся плоскость. Тогда все отображения, рассмотренные ранее (параллельный перенос, осевая и центральная симметрии, поворот, тождественное преобразование) является преобразованиями плоскость.
Определение 2: множество G преобразований фигуры F называется группой, если выполняются следующие два условия:
1) композиция любых двух преобразований из G также является преобразованием. Принадлежащим G:
(f1 G
f2
G) ⇒ (f2 ° f1
G);
2) преобразование, обратное любому преобразованию из G, есть также преобразование, принадлежащее G:
(f G) ⇒ (f-1
G).
Теорема 2: группа G преобразований F содержит тождественное преобразований ε.
Доказательство.
Пусть f G – произвольное преобразование фигуры F. Тогда по условию 2) определения 2 имеем:
f-1
G, а по условию 1) определения 2 имеем: f-1 ° f
G. f-1 ° f
, значит,
G.
Замечание: в теореме из §23 было доказано, что для композиции преобразований справедлив ассоциативный закон:
f3 °(f2 ° f1)= (f3 ° f2)° f1.
Таким образом, определение 2 полностью согласовано с общим определением группы, известным из курса алгебры. (Непустое множество выполняются 4 аксиомы).
Определение 3: непустое множество G элементов произвольной природы называется группой, если выполняются следующие 4 аксиомы:
1) на множестве G определена бинарная операция (g1, g2) g3;
2) эта операция ассоциативна: ((g1, g2), g3)= (g1, (g2, g3));
3) G обладает нейтральным элементом e: (g, е)=(е;g)=g;
4) Для каждого элемента g G существует обратный элемент g-1:
(g, g-1)=(g-1;g)=e
для любых элементов g, g1, g2, g3 множества G.
Определение 4: группа преобразований G1 называется подгруппой группы преобразований G, если композиция преобразований из G1 определена так же, как и в группе G.
Пример: параллельный перенос вдоль прямой l║J=Ох образуют группу, которая является подгруппой группы всех параллельных переносов плоскости.
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 276 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!