Группа симметрий фигуры

Пусть - множество всех движений плоскости, переводящих фигуру F в себя. Очевидно, если движения f и g принадлежат множеству , то их композиция и движениеg ° f и движение f ^-1: также принадлежат множеству : g ° f и f ^-1 . Следовательно, множество есть группа, которая является подгруппой группы D всех движений плоскости.

Определение 1: Если группа содержит элементы, отличные от тождественного преобразования е плоскости, то она называется группой симметрий фигуры F, а ее элементы – симметриями фигуры F. Если состоит из одного тождественного преобразования е, то говорят, что фигура F не имеет симметрий.

Примеры:

1)

А

B

F

120°

C

360°

240°

0°

Группа симметрий правильного ∆АВС с центром О состоит из шести элементов (преобразований): трех поворотов е= , , и трех осевых симметрий : =

2)

p

D

А

B

F

C

Группа симметрий равнобедренного треугольника ∆АВС состоит из двух элементов (преобразований): = , тождественного преобразования е и осевой симметрии . p⊥AB, AD=DB.

3) Группа симметрий разностороннего треугольника ∆АВС состоит из одного элемента – тождественного преобразования е. = , поэтому произвольный треугольник не имеет симметрий.

А

a

b

C

F

В

c

4)

D

d

O

p

A

B

N

M

C

Группа симметрий окружности с центром О радиуса r состоит из бесконечного числа элементов. Любое вращение с центром О и любое отражение от прямой, проходящей через точку О является симметрией окружности .

Определение 2: прямая d называется осью симметрии фигуры F, если f , где f – отражение от прямой d. Точка М₀ называется центром симметрии фигуры F, если отражение от точки М₀ принадлежит группе .

(здесь отражение от прямой – осевая симметрия относительно этой прямой; отражение от точки – центральная симметрия относительно этой точки).

Примеры:

5)

А

M

O

B

C

D

M/

Параллелограмм, отличный от прямоугольника или ромба, имеет один центр симметрии – центр параллелограмма – м не имеет осей симметрии;

6) Прямоугольник или ромб, отличные от квадрата, имеют один центр симметрии и две оси симметрии d₁ и d₂ – прямые, на которых лежат диагонали ромба или серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника;

А

А

С

В

В

С

D

D

O

O

d1

d2

d1

d2

7) Квадрат имеет один центр симметрии и четыре оси симметрии – прямые d₁, d₂, АВ, ВD.

А

В

С

D

О

d1

d2

8)

d1

d2

d0

F

K0

K

K/

l

N0

N

N/

M

M/

M0

Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров и осей симметрии. Пусть F – точка между параллельными прямыми d₁ и d₂, а d₀ – прямая, параллельная d₁ и d₂ и отстоящая от них на равном расстоянии.

Тогда любая точка М₀ прямой d₀ является центром симметрии фигуры F, а любая прямая l⊥d₀, является осью симметрии этой фигуры.