Формулы подобия

Пусть имеется некоторая гомотетия плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат , обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (х^/;у^/) – координаты ее образа М^/ при гомотетии в этой же системе координат:

.

Найдем аналитическое выражение гомотетии коэффициенты К задается формулами:

… (1)

Доказательство.

Пусть М , тогда по определению гомотетии имеем:

.

, тогда получаем:

⇒ ⇒ (1)

Теорема доказана.

Следствие: гомотетия с центром в начале координат с коэффициентом К задается формулами:

(2)

Теорема 2: пусть f – подобие с коэффициентом К, а h – гомотетия с тем же коэффициентом К и центром в произвольной точке М₀. Тогда существует одно и только одно движение такое, что:

(3)

Доказательство.

1) Существование движения .

Рассмотрим преобразование плоскости

(4)

Оно является преобразование подобия с коэффициентом , то есть движением из равенства (4) имеем:

.

Таким образом, существует движение , удовлетворяющее условию (3).

2) Единственность движения .

Пусть теперь –произвольное движение плоскости, такое, что . Учитывая равенство (4), приходим к выводу, что = .

Теорема доказана.

Теорема 3: в прямоугольной декартовой системе координат подобие с коэффициентом К задается формулами:

(5)

где в случае подобия 1-го рода,

в случае подобия 2-го рода.

Доказательство.

Пусть f – подобие с коэффициентом К. тогда по теореме 2 имеем: , где h – гомотетия с центром в начале координат О (0;0) и коэффициентом К, а - некоторое движение.

M(х;у)

h - гомотетия

- движение

- гомотетия

M/(x /;у /)

M//(х//;у//)

Запишем в системе координат формулы преобразований h и :

,

Тогда получаем формулы композиции

или, обозначив координаты точки М(х;y), а ее образа при композиции - подобие с коэффициентом К – через х^/ и у^/, приходим к формулам (5). Теорема доказана.

Теорема 4: любое преобразование подобия, отличная от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Следствие: любое преобразование подобия, имеющее более одной неподвижной точки или не имеющее ни одной неподвижной точки, является движением.

Замечания:

1) Используя теорему 4 и следствие из нее, можно провести классификацию преобразований подобии в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых. При этом прямая называется инвариантной при преобразовании плоскости f, если ее образ при f совпадает с ней;

2) Имеет место обратная теореме 3.

Теорема 5: любое преобразование, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (5), является преобразованием подобия.