Группа преобразований подобия

Определение 1: преобразованием подобия или просто подобием плоскости называется ее преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число. Это число К называется коэффициентом подобия.

Замечание 1: если f – подобие плоскости, то по определению имеем:

.

Примеры:

1) Движение является подобием с коэффициентом К=1;

2) Гомотетией с центром С и коэффициентом Л называется преобразование плоскости, которое произвольную точку М плоскости отображает на такую точку М^/, что:

.

Обозначение: .

3) Пусть М₁ и М₂ – произвольные точки плоскости, а и - их образы при гомотетии. Тогда , и . Таким образом, гомотетия добием с коэффициентом .

L

С

L/

N

M

N/

M/

K 0

Теорема 1: множество подобий плоскости является группой относительно композиции. (Доказательство аналогично теореме движения).

Определение 2: фигура F называется подобной фигуре F^/, если существует подобие плоскости, отображающее фигуру F на фигуру F^/.

Обозначение: F F^/.

Теорема 2: подобие фигур является отношением эквивалентности. (Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы для отношения равенства фигур).

Определение 3: подобие, не меняющее ориентацию плоскости, называется подобием 1-го рода. Подобие, изменяющее ориентацию плоскости на противоположную, называется подобием 2-го рода.

Замечание 2: подобия 1-го рода образуют группу; подобия 2-го рода группу не образуют.

Таким образом, имеет место следующая классификация:

Группа всех подобий

Группа всех движений

Группа подобий 1-го рода

Группа движений 1-го рода

Группа гомотетий с общим центром

Группа параллельных переносов

Группа поворотов с общим центром

Замечание 3: Из курса геометрии средней школы известно, что преобразование подобия обладает свойствами:

1) Сохраняют отношение «лежать между» для точек;

2) Отображают отрезок на отрезок, луч – на луч, прямую – на прямую, угол – на угол, многоугольник – на многоугольник;

3) Сохраняют величины (меры) углов;

4) Сохраняют отношение, в котором точка делит отрезок (в частности, середину отрезка отображают на середину образа этого отрезка).

5) Можно доказать, что гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.