Композиция отображений

Определение: Композицией или произведением отображений f₁ и f₂ называется отображение f, являющиеся результатом последовательного выполнения системы отображения f₁, затем f₂.

M

f1

f2

f = f2 ° f1

M/

M//

Обозначение: f = f₂ ° f₁.

М^/= f₁ (M); М^//= f₂ (M);

М^//= f₂ °(f₁ (M))= (f₂ ° f₁)(M).

Примеры:

1) е – тождественное отображение, f – произвольное отображение, тогда имеем:

β

α

α+β

М

М/

М//

С

е° f = f° е;

2) f₁ = , f₂ = , тогда имеем:

° =

3) f₁ =Z_C= f₂, тогда имеем:

Z_C°Z_C= ° = = =e =e.

4) f₁ = 2₁ =

Найдем формулы композиции f₂ ° f₁.

M(х;у)

f1

f2

f = f2 ° f1

M/(х/;у/)

M//(х//;у//)

М^/= f₁ (M):

М^//= f₂ (M^/):

М^//= f₂ (f₁ (M))= (f₂ ° f₁)(M): ⇒ f₂ ° f₁:

Координаты исходной точки фигуры обозначают через x и y, а ее образа – x^/, y^/. Поэтому удобнее следующая запись:

f₂ ° f₁: f₁ ° f₂:

Теорема: для композиции отображений справедлив ассоциативный (сочетательный) закон:

f₃ °(f₂ ° f₁)= (f₃ ° f₂)° f₁ (1)

Доказательство.

M/

M//

M

M///

f2

f1

f

f3

f2°f1

f3°f2

Пусть М – произвольная точка фигуры F и М M^/, М^/ M^//, М^// M^///.

М^//= f₂ ° f₁ (M), М^///= f₃ (M^//)⇒

М^///= f₃ °(f₂ ° f₁)(M) (2)

М^/= f₁ (M), М^///=(f₃ ° f₂)(M^/)⇒

М^///=(f₃ ° f₂)° f₁ (M) (3)

Тогда имеем М М^//, М^// М^///, то есть с одной стороны М М^///, с другой стороны М М^/, М^/ М^///, то есть М М^///.

В следствии произвольного выбора точки М фигуры F из соотношений (2) и (3) следует формула (1).

Замечание: коммутативный закон для композиции отображений иногда справедлив, иногда – нет, то есть в общем случае: f₂ ° f₁ f₁ ° f₂.

Примеры:

1) ° =

° =

° = °

2) f₁ =S_p, f₂ =S_q, p q (p и q различны и p q)

М

М/

М1//

р

q

М1/

М//

M М^/ М^//

M М₁^/ М₁^//

М₁^// M^//⇒ S_q° S_p S_p° S_q.