Степенная, показательная, логарифмическая функции

Основные свойства и графики.

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Теория.

Свойства операции возведения в степень:

1°. . 2°. .

3°. . 4°. .

5°.. 6°..

Свойства операции нахождения логарифма:

0°. Основное логарифмическое тождество: . Свойство является, по сути дела, оп-

ределением операции логарифмирования.

1°. . 2°. .

3°. . 4°. .

5°. . 6°. .

Показательной функцией называется функция . Ее свойства:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4. ,

.

На приведенных рисунках видим графики показательных функций с различными основаниями: слева – с основаниями , справа – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики показательной функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

Показательная функция определена для любых вещественных значениях показателя степени и принимает только положительные значения, что и указано в свойствах 1 и 2 показательной функции. Графики всех показательных функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции говорит о том, что при основаниях больших единицы показательная функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

Логарифмической функцией называется функция вида

, являющаяся функцией обратной показательной функции с тем же основанием.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения .

2. Область значений .

3. .

4. ,

.

Свойства 1 и 2 показывают, что область определения и область значений показательной функции для логарифмической функции поменялись местами, что и естественно ибо это взаимно обратные функции.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (свойство 3).

Свойство 4 показательной функции указывает на то, что при основаниях больших единицы логарифмическая функция есть функция возрастающая, а при основаниях меньших единицы – убывающая.

На приведенных рисунках видим графики логарифмических функций с различными основаниями: сверху – с основаниями , снизу – с основаниями .

При этом, сплошной линией изображены графики логарифмической функции с основаниями , а крестиками – с основаниями .

И, наконец: