Теория

Формулы сокращенного умножения для запоминания:

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5.

,

6.

, n – четное.

7. (Бином Ньютона).

Одним из действенных методов решения рациональных (и не только) неравенств является, так называемый, метод интервалов.

Чтобы установить знак дроби с помощью этого метода следует:

1) Числитель и знаменатель дроби разложить на простейшие множители, корни которых легко найти;

2) На числовой оси отметить точки, в которых числитель или знаменатель дроби равен нулю;

3) Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, исключить из рассмотрения;

После проделанного, числовая ось разобьется на интервалы, на каждом из которых знак дроби не изменяется. Установить знак дроби на каждом из таких интервалов можно непосредственной подстановкой произвольной точки интервала и вычислением знака дроби в этой точке.

Задачи для решения:1*, 2*, …, 12*, 13*

Применяя метод интервалов решить следующие неравенства:

1*. , 2*. ,

3*. , 4*. ,

5*. , 6*. ,

7*. , 8*. , 9*. , 10*. , 11*. . 12*. . 13*. .

2.

Свойства функции y = ax ² + bx + c. Квадратные уравнения и задачи связанные с исследованием квадратичных функций.

Теория

Формулы для запоминания:

Для уравнения : ,если .

Для уравнения : ,если .

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и его знак определяет количество вещественных корней квадратного уравнения.

Т°.(Виета). Для квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения: . Для приведенного квадратного уравнения , имеющего корни выполняются соотношения: .

Т°.(обратная теореме Виета). Если для двух произвольных вещественных чисел выполнены соотношения , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Т°. Квадратный трехчлен , для которого может быть разложен на линейные множители , где – корни квадратного уравнения .

Графиком функции является парабола ветвями вверх при и, ветвями вниз при . Кроме того, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если ,касается оси абсцисс не пересекая ее, если и не пересекает ось абсцисс если .

При построении графика функции полезно помнить, что:

а) вертикальная прямая является осью симметрии параболы;

б) парабола пересекается с осью симметрии в точке, которая называется вершиной параболы и имеет координаты .

в) если , то парабола пересекается с осью абсцисс в двух точках с координатами ; если ,то эти точки совпадают между собой и совпадают с вершиной параболы; если ,то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.

г) парабола пересекает ось ординат в точке с координатами ; вместе с этой точкой на параболе лежит и точка , симметричная ей относительно оси параболы.

Задачи для решения:1*, 2*, …, 14*

1*. Найти все значения параметра а, при которых сумма корней уравнения равна сумме квадратов этих корней.

2*. Не решая уравнения , установить значения параметра а, при которых один из корней уравнения в два раза больше другого.

3*. Решить следующие уравнения, используя то, что они имеют общий корень:

и .

4*. Определить при каких значениях параметра а, один из корней уравнения

равен (–1). Найти остальные корни этого уравнения при установленных значениях параметра а.

5*. Найти р и q если известно, что среди корней уравнения: x⁴ – 10x³ + 37x² + px +q = 0 есть две пары равных между собой чисел.

6*. При каких m неравенство выполнено для любых х.

7*. При каких m корни уравнения: x² + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 отрицательны.

8*. При каких m корни уравнения: 4x² – (3m + 1)x – m – 2 = 0 заключены в промежутке x Î[–1, 2].

9*. Найти коэффициенты уравнения x² + px + q = 0 при условии, что разность его корней равна 5, а разность их кубов равна 35.

10*. При каком значении а оба корня уравнения

х² – (а + 1)х + а + 4 = 0 будут положительны.

11*. При каких значениях m неравенство выполняется для любых значений х.

12*. При каких n корни уравнения: (n – 2)x² – 2nx + n + 3 = 0 находятся на промежутке x Î[1, 4].

13*. При каких m неравенство выполняется для любых значений х.

14*. При каких р система неравенств выполняется для любых х:

.

3.