Теория. Произвольная система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и не совместной в противном случае

Произвольная система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и не совместной в противном случае. При этом совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и не определенной если она имеет более одного (а именно бесконечно много) решений.

Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными исследование на совместность производится очень просто.

Если задана система , то:

а) если , то система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

б) если , то система не совместна, т.е. не имеет решений;

в) если , то система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений;

Для систем линейных уравнений с количеством неизвестных более двух исследование на совместность более сложно и будет изучено позднее.

Основным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса исключения неизвестных, который, при некоторой модификации, позволяет как исследовать систему на совместность – не совместность, так и, в случае совместности, найти решения как определенных так и не определенных систем.

Задачи для решения:1*, 2*, …, 15*

Исследовать на совместность и решить системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

1*. ; 2*. ;

3*. ; 4*. ;

5*. ;

6*. .

7*. Числа a и b таковы, что система имеет единственное решение х = 1, у = 1. Найти a и b.

8*. При каких a и b система имеет бесконечно много решений?

9*. При каких a система не имеет решений?

10*. Числа a, b и с таковы, что система

имеет бесконечно много решений,

причем х = 1, у = 3, одно из них. Найти a и b.

11*. Найти все такие значения а, чтобы при любом b, нашлось такие с при которых система имеет хотя бы одно решение:

а) ; б) .

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса исключения неизвестных:

12*. ; 13*. ;

14*. ; 15*. .

4.