Пять замечательных разложений функций в ряд Тейлора

в окрестности точки x ₀ = 0.

Разложения функций в ряд Тейлора в окрестности точки x ₀ = 0 называются разложениями в ряды Маклорена.

Множество значений х при которых ряд сходится называется областью сходимости ряда. Степенной ряд вида сходится в интервале и R называется радиусом сходимости степенного ряда. В точках и ряд может, как сходиться, так и расходиться. Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам: (формула Даламбера) или (формула Коши). По другому область сходимости ряда может быть установлена при оценке остаточного члена.

Более подробные сведения о рядах будут рассматриваться в последующем курсе.

Ниже следующие разложения получены по общей формуле разложения функции в ряд Тейлора.

1°. (x ₀ = 0);

Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа:

.

Из оценки следует, что при любом фиксированном х и n стремящемся к бесконечности остаточный член стремится к нулю, т.е. ряд сходится для любых х.

Тот же результат может быть получен из формулы Даламбера:

.

Область сходимости ряда х Î (–¥; +¥).

2°. , (x ₀ = 0).

Оценка для остаточного члена:

.

Область сходимости ряда х Î (–¥; +¥)

3°. , (x ₀ = 0).

Оценка остаточного члена:

.

Область сходимости ряда х Î (–¥; +¥).

4°. , (x ₀ = 0).

Оценка остаточного члена:

.

Если х = 1, то получается ряд , который сходится по признаку Лейбница.

Область сходимости ряда х Î (-1, 1].

5°. , (x ₀ = 0).

Для остаточного члена получаем:

=

=

.

Область сходимости:

1) m Î N, x Î (–¥; +¥); 2) m > 0, x Î [–1; 1];

3) m Î (–1, 0), x Î (–1; 1]; 4) Общ. случай x Î (–1; 1).