![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется возрастающей в некоторой окрестности точки
, если
.
Функция называется убывающей в некоторой окрестности точки
, если
.
Если функция дифференцируема в точке и ее производная больше (меньше) нуля, то она возрастает (убывает) в этой точке.
т.е.
- а это и есть возрастание функции, имеющей положительную производную.
Аналогично для убывания функции, имеющей отрицательную производную.
Пусть .
Если для значений M и m справедливо, что
и
,
то говорят, что достигаются максимальное и минимальное значения функции, и они обозначаются: .
Пусть . Тогда:
Т°(Ферма). В точке локального внутреннего экстремума производная функции, если она существует и конечна, равна нулю.
∆(для max). Пусть функция в точке
имеет локальный внутренний максимум.
Тогда: .
Получаем:
и
Þ
. ▲
Т°(Ролля). Если функция дифференцируема внутри замкнутого промежутка и непрерывна на нем, причем на концах промежутка, принимает равные значения, то внутри промежутка найдется точка с нулевой производной (хотя бы одна).
.
∆. Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на нем т.е.
причем m, M – достигаются. Возможны два случая:
a) .
b) существует хотя бы один внутренний локальный экстремум.
Следовательно, по теореме Ферма, . ▲
Т° (Лангранжа). Если функция непрерывна на замкнутом промежутке и дифференцируема внутри него то внутри промежутка есть точка, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки и
.
∆ Рассмотрим , где L некоторая постоянная.
По условию теоремы - непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a,b).
Константу L подберем из условия: F (a) = F (b).
Получим:
f (a) + La = f (b) + Lb, f (a) – f (b) = L (b - a) .
Так построенная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Значит
т.е. . ▲
Следствие: Если на
дифференцируема, то
Þ
Þ Þ
Þ
Полученная формула называется формулой конечных приращений.
Tº (Формула Коши). Если две функции непрерывны на замкнутом промежутке дифференцируемы внутри него и:
· их производные одновременно не равны 0;
· значения одной из функций на концах промежутка не совпадают;
то внутри промежутка есть точка где касательная к кривой, заданной параметрическими уравнениями, определяемыми этими функциями параллельна хорде.
Ù f ´²(t) + g ´²(t) ≠ 0 Ù (f (a) ≠ f (b)
g (a)
g (f))
Þ $aÎ(a, b) .
∆ Пусть g (a) g (b).
Рассмотрим функцию: F (x) = f (x) – Lg (x). Эта функция F (x) = f (x) – Lg (x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b).
Потребуем: F (а) = F (b) Þ f (а) – Lg (а) = f (b) – Lg (b). Тогда L = и по теореме Ролля:
Þ
при t =
Þ
Þ Þ
. ▲
Tº (Дарбу). Произвольная функция, дифференцируемая на замкнутом промежутке, и принимающая два некоторых значения принимает и всякое промежуточное значение.
· Частный случай: Если на концах промежутка функция имеет производную разных знаков, то внутри промежутка есть точка, в которой производная равна нулю.
∆ Пусть и γ
(
, β).
Рассмотрим функцию F (x) = f (x) – γ x.
Для неё: ;
.
на концах промежутка принимает значения разных знаков, следовательно
. ▲
Tº (Об односторонней производной). Если функция f определена в односторонней окрестности точки x = a и непрерывна в ней, а в соответствующей проколотой окрестности дифференцируема, то односторонняя производная равна соответствующему пределу производной в этой точки: .
∆ Пусть . Тогда
.
Т.к. a < γ(x) < x, то .
Если в формуле: устремить x → a + 0, то получим
. ▲
Дата публикования: 2014-11-26; Прочитано: 302 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!