Высшие производные обратных функций

Пусть непрерывна, строго монотонна в окрестности т. , где она n - кратно дифференцируема, причем . Тогда в окрестности точки существует обратная функция , которая непрерывна и строго монотонна в этой окрестности и n – кратно дифференцируема, причем n -я производная обратной функции рационально выражается через n первых производных исходной функции в т. , при этом в знаменателе стоит .

.

Инвариантность формы первого дифференциала и неинвариантность формы высших дифференциалов функции

Пусть . Тогда т.е.

и .

Здесь – независимая переменная, а g – функция зависящая от х.

И, тем не менее, формулы для нахождения первого дифференциала одинаковы.

Это явление выражает инвариантность формы первого дифференциала относительно замены переменных.

Теперь для независимой переменной х:

=

= .

А для зависимой переменной g:

.

Получили:

, если х – независимая переменная, и

, если g – зависимая переменная т.е. функция.

Это и есть не инвариантность формы второго (и, естественно, более высоких) дифференциала относительно замены переменных.