Гиперболические функции

Каждая тригонометрическая функция имеет свой гиперболический аналог.

.

.

, .

На рисунке слева приводятся графики гиперболических синуса (сплошная линия) и косинуса (пунктирная линия). Тонкой пунктирной линией построен график функции и симметричные ему относительно оси абсцисс и оси ординат.

На рисунке справа приводятся графики гиперболических тангенса (сплошная линия) и котангенса (пунктирная линия). Тонкой пунктирной линией построен график функций .

Для всех введенных гиперболических функций (для y = ch x отдельно для х > 0 и отдельно для x < 0) существуют обратные функции.

Найдем обратные функции к гиперболическим функциям:

1°. Þ Þ

Þ Þ .

2°. Þ Þ

Þ () Þ .

Получили две однозначные ветви обратной функции.

3°. Þ

= (если ).

4°. Þ Þ Þ (если ).

5°. Из 3°. и 4°.: .

Ниже приводятся графики обратных гиперболических функций:

Слева приведены графики функций обратных гиперболическому синусу (сплошной линией) и косинусу (пунктирной линией), причем во втором случае приводятся обе ветви: одна выше а другая ниже оси абсцисс.

Справа приведены графики функций обратных гиперболическому тангенсу (сплошной линией) и котангенсу (пунктирной линией).

§. Равномерная непрерывность

Def. Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Из определения равномерной непрерывности функции на множестве следует, что функция непрерывна в каждой точке этого множества, но не наоборот.

Примеры:

1°. . Функция - непрерывна на . Однако:
,

т.е. не является равномерно непрерывной на промежутке .

2°. , Функция - непрерывна на . Но, если положить

то получим:

,

и при этом: .

Из этого делаем заключение о том, что функция не является равномерно непрерывной на .

Т° Кантора (о равномерной непрерывности). Если функция непрерывна на замкнутом промежутке то она равномерно непрерывна на нём.

∆ Пустьфункция непрерывна на замкнутом промежутке . Тогда:

.

Множество всех дельта-окрестностей точек промежутка образует открытое покрытие замкнутого промежутка . Выделив из этого покрытия конечное подпокрытие получим: - конечное подпокрытие.

Положим . Тогда:

Þ Þ

. ▲