Разрывы монотонной функции

Т˚. Монотонно возрастающая (убывающая) на промежутке Х функция f (x) может иметь во внутренних точках лишь разрывы 1-го рода.

∆ Пусть - внутренняя точка Х и f (x) монотонно возрастает. Тогда слева от

f (x) < f () и, следовательно, ограничена сверху. и:

а) если то функция непрерывна слева в т. ,

б) если то функция разрывна слева в т. .

Тогда справа от функция f (x) > f () и, следовательно, ограничена снизу. Следовательно, и:

а) если то функция непрерывна справа в т. ,

б) если то функция разрывна справа в т. .

Т.к. пределы функции в точке и слева и справа существуют и конечны, то в т. , в худшем случае, будут разрывы 1-го рода. ▲

Т˚. (Критерий непрерывности монотонной функции). Если значения монотонно возрастающей функции содержатся в промежутке Y и сплошь заполняют его (т.е. ), то эта функция непрерывна на Х. ∆▲

§ Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Больцано-Коши)

Т˚. Функция, непрерывная на промежутке и принимающая какие-либо два значения, принимает и всякое промежуточное значение. (Значения, которые принимает непрерывная функция на промежутке, сами заполняют некоторый промежуток).

Пусть I – интервал; . f (a) = α; f (b) = β.

Тогда | f (c) = γ.

Вспомогательный факт: если f (x) непрерывна в т. и f () = ξ > γ,

то f (x) > γ.

Аналогично: если f () = ξ < γ

то f (x) < γ.

∆ Рассмотрим все , для которых . Т.е. .

Множество Х – не пусто, т.к. f (a)< γ и ограничено сверху (например, числом b).

Тогда .

Докажем, что f (c) = γ (от противного).

1). , т.е. ,

что противоречит тому, что с = sup X.

2). , т.е. ,

и это вновь противоречит тому, что с = sup X.

Таким образом f (c) = γ. ▲

Т˚. Непрерывная на замкнутом промежутке функция f (x), на концах промежутка принимающая значение разных знаков, неминуемо внутри промежутка обращается в ноль.

∆ Доказательство проведем методом вилок:

Положим и . Делим отрезок пополам точкой с. Если то теорема доказана. Если же , то на одном из двух промежутков или функция имеет разные знаки на концах. Пусть это отрезок, например .

Положим и . Получим промежуток .

Продолжая эту процедуру мы либо на некотором конечном шаге найдем точку с в которой , либо получим бесконечную последовательность вложенных замкнутых промежутков, удовлетворяющих условию .

При этом: . Значит существует с - общая точка всех промежутков для которой справедливы равенства: . Учитывая что, делаем заключение: . ▲

§ Существование экстремумов непрерывной функции на сегменте (теорема Вейерштрасса)

Т˚ Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на этом промежутке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.

| |

∆ 1) Допустим, что f (x) неограниченна сверху для . Тогда |

Построив последовательность выделим из неё сходящуюся последовательность , тогда, по непрерывности , но . Полученное противоречие, доказывает ограниченность функции сверху. (Аналогично доказывается ограниченность функции снизу.

2) Докажем, что достигается, т.е. | .

Вновь от противного: пусть это не так. Тогда

Рассмотрим непрерывна и, следовательно (из 1)), ограничена, т.е. , т.е. .

Последнее неравенство противоречит тому, что . (аналогично с точной нижней гранью). ▲

Т°. (об обратной функции). Если y = f (x) определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке Х, то в соответствующем промежутке Y значений этой функции существует однозначная обратная функция x = также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

∆ (для возрастающей функции). Отметим, что

1) Существование обратной функции. Если f (x) непрерывна, то её значения заполняют промежуток Y сплошным образом, т.е. | . Единственность такого x следует из монотонности исходной функции.

Тогда: , т.е. x = .

2) Монотонность. Пусть . Т.е. x = – монотонна.

3) Непрерывность (из критерия непрерывности монотонной функции). Значения

x = сплошь заполняют промежуток Х и – монотонна. ▲