Классификация точек разрыва

Условие непрерывности функции f (x) в т. :

.

При нарушении этого условия в т. , функция f (x) имеет разрыв.

Разрывы бывают:

Разрывы 1-го рода (когда пределы справа и слева функции f (x) в т. существуют и конечны).

1°. устранимый разрыв первого рода.

2°. разрыв первого рода типа скачок.

Разрывы 2-го рода (по крайней мере, один из односторонних пределов равен ∞ или не существует).

1°. или равен ∞ бесконечный разрыв 2-го рода.

1°. или не существует разрыв 2-го рода.

Примеры:

1°. y = sgn x при x = 0разрыв 1-го рода типа скачок

величина скачка: .

2°. y = |sgn x | при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.

3°. при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.

4°. наибольшее целое на превосходящее х – целая часть х.

В целочисленных точках – непрерывность справа, разрывы 1-го рода типа скачок слева.

5°. разрыв 2-го рода в т. х = 0.

6°. при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.

7°. функция непрерывна.

8°. при x = 0бесконечный разрыв 2-го рода.

9°. y = arctg при x = 0разрыв 1-го рода типа скачок.

10°. Функция Дирихле: y = D (x) = разрывна в любой точке.

11°. y = xD (x) непрерывна только в одной точке х = 0.