Обратные тригонометрические функции

1°. y = sin x

Синусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Синусом угла называется ордината конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).

R; . Функция нечетная, периодичная с периодом Т = 2p.

Ее график приведен выше.

Решение простейших уравнений: Z,

Z,

Z.

А уравнение ?

На промежутке функция y = sin x монотонно возрастает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arcsin x. Справа приводим ее график.

Def. ;

, .

Отметим, что:

Z.

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z.

2°. y = cos x

Косинусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Косинусом угла называется абсцисса конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).

R; . Функция четная, периодичная с периодом Т = 2p.

Ее график приведен выше.

Решение простейших уравнений: Z,

Z,

Z.

А уравнение ?

На промежутке функция y = cos x монотонно убывает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arccos x. Справа приводим ее график.

Def. ;

, .

Отметим, что:

Z.

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z.

Приведем еще несколько полезных соотношений:

;

.

3. y = tg x

Тангенсом числового аргумента называется отношение синуса и косинуса того же аргумента. Его величина равна ординате точки пересечения продолжения радиуса подвижного круга с вертикальной прямой, проходящей через точку с координатами (1, 0) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью тангенсов).

D (tg) = R \{ x | x = Z }; Е (tg) = R.

Функция нечетная, периодичная с периодом Т = p.

График функции приведен выше.

Решение простейших уравнений: tg Z,

tg Z,

tg Z,

А уравнение tg ?

На промежутке функция y = tg x монотонно возрастает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arctg x. Справа приводим ее график.

Def. ;

R, E (arctg) = .

Отметим, что: Z.

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z.

Приведем еще несколько полезных соотношений:

.

4. y =ctg x

Котангенсом числового аргумента называется отношение косинуса и синуса того же аргумента. Его величина равна абсциссе точки пересечения продолжения радиуса круга с горизонтальной прямой, проходящей через точку с координатами (0, 1) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью котангенсов).

D (сtg) = R \{ x | x = Z }; Е (сtg) = R.

Функция нечетная, периодичная с периодом Т = p.

График функции приведен выше.

Решение простейших уравнений: сtg Z,

сtg Z, сtg Z,

А уравнение сtg ?

На промежутке функция y = ctg x монотонно убывает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arcсtg x. Справа приводим ее график.

Def. ;

R, E (arctg) = .

Отметим, что: Z.

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

с Z.

Приведем еще несколько полезных соотношений::

,

.