Предел функции по Гейне ( по последовательности)

Пределом функции f (x) по последовательности { x_n } называется .

Пример: Рассмотрим . Для этой функции не существует.

Однако при и, следовательно, .

Т°. Если существует предел функции f (x) по всякой последовательности

x_n ® a (x_n Î D (f)) отличной от а то все эти пределы равны и существует

равный их общему значению предел функции в точке а.

∆

а) Пусть: x_n ® a (x_n ¹ a) и ().

и пусть: ; ; и .

Рассмотрим новую последовательность такую, что: а (k Î N) т.е. между элементами последовательности вставим элементы последовательности .

Учитывая, что , для этой последовательности получим: .

Но … начиная с некоторого номера k ₁.

начиная с некоторого номера k ₂.

Тогда .

Из свойства отделимости точек числовой прямой следует, что Æ и значит не существует , если .Значит: .

б) Пусть теперь . Здесь b общее значение пределов функции по всем последовательностям. Тогда:

.

Построим последовательность такую, что: N .

Для нее и, следовательно, , что вновь противоречит условию теоремы. Как говорится, противоречие доказывает теорему. ▲

Доказанная теорема свидетельствует о том, что:

Предел функции по Гейне и по Коши – понятия эквивалентные.

§ Число e.

-иррациональное число.

∆ Рассмотрим последовательность :

1⁰.

+…+ =

.

Тогда:

.

Из последнего неравенства следует, что:

.

Т.е. последовательность -ограничена.

2⁰. ,

т. е. и, следовательно, последовательность возрастающая.

Таким образом, установлено, что последовательность монотонно возрастающая и ограниченна сверху. Следовательно, существует и конечен предел этой последовательности: R.

Предел этой последовательности называется числом e. Некоторое количество первых значащих цифр его численного значения приведено выше.

Для их запоминания часто применяют следующее мнемоническое правило: запомните число 2,7; далее два раза напишите год рождения Льва Толстого 1828;

и два раза половина прямого угла 45, между которыми стоит прямой угол 90.

Обозначение ввел Я. Эйлер ( - первая буква в слове exponenta). Обозначение стало общеупотребительным, так как напоминает и об Я. Эйлере ( - первая буква фамилии Euler Leonard, 1707-1783).

.

Эйлер ввел также (греч. - окружность) в 1736 г. И хотя еще в 1706 г. то же сделал У. Джонсон (W. Johnson), только после Эйлера обозначение стало обще употреби-тельным.

, 3.141…3.146

Тот же результат можно получить, воспользовавшись неравенством Я. Бернулли:

если и , причем .

Для натурального , , и положительного неравенство очевидно из формулы бинома:

. Для натурального , , и доказывается методом математической индукции: первый шаг индукции , предположение индукции , индуктивный шаг .

В общем случае (для вещественных показателей) легко доказывается методами дифференциального исчисления.

Для последующего рассуждения требуется только доказанное здесь ( натуральное).

>

=

= .

- последовательность возрастает ().

Далее определим последовательность:

. Тогда для нее: = =

= >

> = > 1.

- последовательность убывает. Очевидно .

Если , то - любой член одной последовательности ограничивает другую последовательность.

Следовательно: . Но .