Теоремы о пределах. Неопределенности

Т°. Если существуют и конечны пределы стоящие справа в следующих равенствах, то также существуют и конечны пределы, стоящие слева и равенства выполняются:

1⁰. ,

2⁰. ,

3⁰. если .

∆ 1⁰. Пусть , .

Тогда и , где .

Следовательно: и j(x) бесконечно мала.

Значит .

2⁰,3⁰ доказываются аналогично. ▲

Т°. (о пределе сложной функции).

Пусть ; . Тогда .

∆ По условию теоремы: Û " U _c ,

Û " U_b .

Получаем:

" U _c

что и т. д.▲

Def. Действия с несобственными элементами:

* * *

* * *

* (если ) *

* е. , е.

* * е. * е. , е. .

∆. Докажем например что

Пусть и

Тогда ,

и .

Теперь возьмём .

Получим:

что и т. д.

аналогично доказываются остальные соотношения.▲

Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.

Рассматривается (пока) четыре типа неопределённостей:

¥-¥, 0×¥, , .

Первые две неопределённости сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:

Правило: Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел стоящий справа существует и конечен. Ü| . ∆ ▲

Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.