Определения, терминология и примеры

Def. Величина f (x) называется бесконечно малой при x ® a, если .

(Обозначается: f (x) = o (1), читается: f (x) есть О-малое от единицыили f (x) есть бесконечно малая величина).

f (x) = o (1): Û aÎ $ Î D (f) | xÎ Þ | f (x)| < e.

*. Cуществование конечного предела равносильно утверждению, что функция есть бесконечно малая величина при x ® a.

*. Если то , где j (x) = o (1) при x ® a.

Примеры:

1⁰. . Для указанной функции f (x) = o (1) при .

2⁰. . Для данной последовательности x_n = o (1) при n ® +¥.

Def. Если , то величина называется бесконечно большой величиной.

*. Если функция имеет предел равный + или - , то она является бесконечно большой, но бесконечно большая величина не обязательно стремиться к бесконечности определенного знака, т.е.: .

Примеры:

1⁰. Для данной последовательности бесконечно большая величина.

2⁰. . Элементы этой последовательности: 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6,…

Величина не ограниченна, хотя бесконечно большой не является.

Def. Числовая функция называется ограниченной сверху, снизу, ограниченной если таковым является её множество значений.

ограничена сверху M

ограничена снизу m

ограничена m, M

A

неограничена сверху

неограничена снизу

неограничена

.

Def. Числовая функция называется ограниченной …. на множестве , если таковым является её сужение на множество .

Сужение: f (x)| _X = f (x) ).

Def. Функция называется (финально) ограниченной … в точке сгущения её области определения если на которой функция ограничена …

f (x) ограничена … - ограничена в любой точке и на любом множестве.

f (x) неограничена … в некоторой точке или на некотором множестве

- неограниченна.

В данном определении вместо многоточия указывается характер ограниченности (сверху, снизу, …).

Ограниченность функции обозначается f (x) = O (1), (читается: f (x) есть О-большое от единицыили f (x) есть ограниченная величина).

Примеры:

1⁰. .

ограничена сверху, снизу, ограничена сама по себе, в любой точке на любом множестве.

2⁰. .

На (0,1) - ограничена снизу, неограниченна сверху.

На [1,100) - ограничена сверху, ограничена снизу, ограничена.

На [-1,1] - неограничена сверху, неограничена снизу, неограничена.

Def. Величина называется отделенной от нуля если

Def. Функция называется отделенной от нуля на множестве если таково её сужение на .

Def. Функция финально отделена от нуля в точке если такая, что функция отделена от нуля в этой проколотой окрестности.

*. Функция отделена от нуля отделена от нуля на любом подмножестве и в любой точке. Но…отделена от нуля в каждой точке не обязательно отделена от нуля.

*. Ненулевая бесконечно малая не отделена от нуля.

*. Функция, имеющая в точке ненулевой предел финально отделена от нуля в этой точке.

*. Если отделена от нуля - ограничена.

Примеры:

1⁰. ² (место для рисунка) отделена от нуля.

2⁰. f (x) = x ² Для " x ¹ 0 функция финально отделена от нуля.