Предел последовательности

Def. Вещественно-значная функция натурального аргумента называется последовательностью.

f: N ® R -каждому натуральному числу n ставится в соответствие x_n = x (n).

Обозначается { x_n } или просто { x_n }.

x_n - элемент последовательности. Величина x_n = x (n) рассматриваемая как функция от n, называется общим членом последовательности.

Единственная точка сгущения у последовательности: +¥.

Def. b Î , :Û "e>0 $ N(e) | "n > N | x_n - b | < e. или

b Î , :Û " U_b $ N | "n > N x_n Î U_b.

· Если последовательность имеет предел то она называется сходящейся, иначе - расходящейся.

· Предел последовательности зависит от поведения в произвольно малой окрестности +¥ (т.е. при достаточно больших n), и не изменится если поменять (или вообще отбросить или добавить) любое конечное число членов.

Примечание. Учитывая, что у последовательности, единственной точкой сгущения является +¥, в обозначении предела можно не указывать, что n ® +¥.

Примеры:

1°. =1.

Действительно отметим, что: x ₁ = 0, x ₂ = 3/2, x ₃ = 2/3, x ₄ = 5/4, ….

А теперь: "e>0 | x_n - b | = | | = < e

т.е. "e>0 $ N(e) = | "n > N | x_n - b | < e.

2°. Нетрудно понять, что не существует.

3°. (если q > 1).

В самом деле, если q = 1 + D (где D>0)

то qⁿ = (1+D)(1+D)(1+D)…..= 1 + n D + > 1+ n D > e.